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Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 2022 - 13:37:36 Uhr
Lesezeit: 3 min Es gibt drei wesentliche Formen von Ebenengleichungen, die wir uns merken müssen: Koordinatenform: $$ E:a_1 \cdot x + a_2 \cdot y + a_3 \cdot z = c $$ Parameterform: $$ E:\vec x=\vec a + s \cdot \vec b + t \cdot \vec c $$ Normalenform: $$ E: \left[\vec x-\vec a\right] \circ \vec n = 0 $$ Normalenform Die Normalenform (auch "Normalform" oder "Normalengleichung") ist eine spezielle Form einer Geradengleichung oder Ebenengleichung. Normalengleichung - Ebenengleichungen einfach erklärt | LAKschool. In der Normalenform wird eine Gerade in der Ebene durch einen Stützvektor und einen Normalenvektor dargestellt. Eine Gerade oder Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene oder im Raum, für die der Differenzvektor aus Ortsvektor und Stützvektor senkrecht zum Normalenvektor steht. Die Normalenform ist damit eine spezielle implizite Darstellung der Gerade oder Ebene. Umwandlungen von Ebenengleichungen Hier findet ihr die notwendigen Formeln zum Berechnen von Ebenengleichungen: Drei Punkte gegeben Umwandlung von Koordinatenform in Parameterform Umwandlung von Koordinatenform in Normalenform Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform Umwandlung von Parameterform in Normalenform Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform Umwandlung von Normalenform in Parameterform
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Eine Gleichung mit den Unbekannten, und beschreibt dann eine Menge von Punkten im Raum, und zwar diejenigen Punkte, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Ebenen sind nun dadurch ausgezeichnet, dass es sich bei einer solchen Gleichung um eine lineare Gleichung handelt. Zur Notation von Ebenen werden verschiedene Schreibweisen verwendet. Die vor allem in der Schulmathematik gebräuchliche Schreibweise bedeutet, dass die Ebene aus denjenigen Punkten besteht, deren Koordinaten die Ebenengleichung erfüllen. Ebenengleichungen in Mathematik | Schülerlexikon | Lernhelfer. Die in der höheren Mathematik verwendete Mengenschreibweise lautet entsprechend. Für Ebenengleichungen gibt es nun unterschiedliche Darstellungsformen, je nachdem welche Kenngrößen der Ebene vorgeschrieben sind. Koordinatenform [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei der Koordinatenform wird eine Ebene durch vier reelle Zahlen,, und beschrieben. Eine Ebene besteht dann aus denjenigen Punkten, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Hierbei muss mindestens eine der drei Zahlen ungleich null sein.
Eine Gerade in der xy-Ebene wird durch die Gleichung a x + b y + d = 0 ( m i t a 2 + b 2 > 0) ( 1) beschrieben, und jede Gerade dieser Ebene lässt sich durch eine solche Gleichung beschreiben. Analog dazu wollen wir nun überlegen, welche Punktmenge des Raumes durch die Gleichung a x + b y + c z + d = 0 ( m i t a 2 + b 2 + c 2 > 0) ( 2) beschrieben wird. Normalengleichung einer ebene der. Wo liegen also die Punkte X ( x; y; z), deren Koordinaten die Gleichung (2) erfüllen? Eine Beantwortung dieser Frage ist nicht sehr schwierig, wenn man beispielsweise an Folgendes denkt: Eine ähnliche Summe wie in Gleichung (2) ist uns bisher nicht nur bei Geraden in der Ebene, sondern auch beim Skalarprodukt begegnet. Definiert man den Vektor n → = ( a b c), so lässt sich Gleichung (2) mit dem Ortsvektor x → zum Punkt X auch wie folgt aufschreiben: n → ⋅ x → = − d ( m i t | n → | ≠ 0) ( 3) Durch die Gleichungen (2) und (3) werden also alle Punkte X des Raumes beschrieben, die dieselbe Normalprojektion des zugehörigen Ortsvektors x → in Richtung des Vektors n → besitzen.
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