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Es gilt also: Ist eine Wendestelle, so ist. Hinreichendes Kriterium ohne Verwendung der dritten Ableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei Kurvendiskussionen wird in der Regel eine der beiden folgenden hinreichenden Bedingungen verwendet. In der ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür muss das Vorzeichen von für und für untersucht werden. Wechselt vom Negativen ins Positive, so ist Rechts-links-Wendestelle. Wenn an vom Positiven ins Negative wechselt, so ist eine Links-rechts-Wendestelle. Hinreichendes Kriterium unter Verwendung der dritten Ableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Für die Funktion f(x)=x 4 -x ist die zweite Ableitung bei x=0 gleich Null; aber (0, 0) ist kein Wendepunkt, da auch die dritte Ableitung gleich Null und die vierte Ableitung ungleich Null ist. In der zweiten für einen Wendepunkt hinreichenden Bedingung wird auch die dritte Ableitung benötigt, allerdings nur an der Stelle selbst. Diese Bedingung wird vor allem dann verwendet, wenn die dritte Ableitung leicht zu ermitteln ist.
Merke Hier klicken zum Ausklappen Am Rechts-Links-Wendepunkt gilt f´´(x) = 0 und f´´´(x) > 0 Links-Rechts-Wendepunkte Für Links-Rechts-Wendepunkte gilt: Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung Links-Rechts-Wendepunkt ohne Steigung (Sattelpunkt) Links-Rechts-Wendepunkt mit negativer Steigung Aus den Ableitungen an den verschiedenen Links-Rechts-Wendepunkten erkennt man, dass ein LR-Wendepunkt in der ersten Ableitung ein Maximum hat, in der zweiten Ableitung eine Nullstelle und in der dritten Ableitung negativ ist. Merke Hier klicken zum Ausklappen Am Links-Rechts-Wendepunkt gilt f´´(x)=0 und f´´´(x)
Übungen Untersuchen Sie folgende Funktionen und geben Sie jeweils eine Stammfunktion an.
5turn);}{\Large \curvearrowleft}\) \(x < x_{0}\) \(x = x_{0}\) \(x > x_{0}\) \(f''(x)\) \(+\) \(0\) \(-\) \(G_{f}\) \(\style{display: inline-block; transform:rotate(0. 5turn);}{\Large \curvearrowleft}\) Wendepunkt \(\Large \curvearrowright\) Bestimmung von Wendepunkten mithilfe der 3. Ableitung Die Bedingungen \(f''(x_{0}) = 0\) und Vorzeichenwechsel von \(f''\) an der Stelle \(x_{0}\) bedeuten eine einfache Nullstelle der zweiten Ableitung. Die dritte Ableitung gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der zweiten Ableitung an der Stelle \(x_{0}\) an. Diese muss zwangsläufig von Null verschieden sein. Wendepunkte mithilfe der 3. Ableitung Ist \(f''(x_{0}) = 0\) und \(f'''(x_{0}) \neq 0 \), so hat der Graph \(G_{f}\) an der Stelle \(x_{0}\) einen Wendepunkt. Ergibt sich \(f'''(x_{0}) = 0\), ist keine Aussage möglich. Der Nachweis eines Wendepunkts mithilfe der dritten Ableitung hat den Nachteil, dass das Krümmungsverhalten in der Umgebung des Wendepunkts nicht erfasst wird. Terrassenpunkte Ein Terrassenpunkt \(TeP\) ist ein Wendepunkt mit einer waagrechten Wendetangente.