Bei einer Kombination mit Wiederholung werden aus n Objekten k Objekte ohne Beachtung der Reihenfolge ausgewählt, wobei Objekte auch mehrfach oder auch gar nicht ausgewählt werden können. Die folgende Aufgabe gehört zu diesem Aufgabentyp: Gummibärchen sollen in Tüten mit immer 8 Gummibärchen verpackt werden. Es kann aus fünf verschiedenen Sorten (Gummibärchenfarben) ausgewälht werden. Dabei dürfen Sorten mehrfach oder auch gar nicht gewählt werden. Es ist somit eine Tüte mit lauter roten Gummibärchen möglich ebenso wie eine Tüte bestehend aus 3 roten, 4 grünen und einem weißen. Wie viele Gummibärchenzusammenstellungen sind möglich? Die Formel zur Berechnung der Gesamtzahl aller lautet: Aber warum muss man bezogen auf die obige Gummibärchenaufgaben die Anzahl der Gummibärchen pro Tüte (also 8) mit der Anzahl der Sorten (also 5) addieren, dann 1 subtrahieren und dann durch 5! teilen? Dies wird im folgenden Video anschaulich erläutert. Erklärvideo zum Grundtyp Kombination mit Wiederholung Im folgenden Video wird mit Hilfe einer Tabelle erläutert, warum die obige Formel zur Berechnung der Anzahl aller Möglichkeiten gilt.
Online Rechner Der Rechner von Simplexy kann dir beim Lösen vieler Aufgaben helfen. Für manche Aufgaben gibt die der Rechner mit Rechenweg auch einen Lösungsweg. So kannst du deinen eignen Lösungsweg überprüfen. Kombination mit Wiederholung Der unterschied zwischen der Kombination mit Wiederholung und der Kombination ohne Wiederholung liegt darin, dass bei der Kombination mit Wiederholung die Elemente mehrfach ausgewählt werden können. Für die Kombination mit Wiederholung berechnet man die Anzahl an Anordnungen folgendermaßen: \(\frac{(n-1+k)! }{(n-1)! \cdot k! }=\binom{n-1+k}{k}\) Regel: Bei einer Kombination mit Wiederholung werden \(k\) aus \(n\) Elementen unter vernachlässigung der Reihenfolge ausgewählt, wobei jedes Element mehrmals ausgewählt werden darf. Anzahl der Möglichkeiten für \(k\)-Elemente aus einer Menge mit insgesammt \(n\) Elementen berechnet sich über: Beispiel In einer Urne befinden sich \(6\) verschiedene Kugeln. Es werden \(3\) Kugeln gezogen nach jedem Zug wird die gezogene Kugel zurück gelegt.
Wartest Du allerdings während des Spiels auf eine bestimmte Karte, so ist es wichtig, wann Du sie erhältst. Was ist eine Permutation? Unter einer Permutation versteht man die Anordnung von n unterscheidbaren Elementen in einer bestimmten Reihenfolge. Im Falle, dass keine Wiederholungen auftreten, ist die Anzahl der möglichen Permutationen aus n Elementen mit n Fakultät gegeben: Drei Stifte (n=3) in den Farben rot (r), schwarz (S) und blau(B) werden beispielsweise zufällig an drei Personen verteilt. Dann gibt es dafür 3! =6 verschiedene Möglichkeiten. Solange noch kein Stift verteilt ist, gibt es für die erste Person drei Stifte, die sie erhalten kann. Ist dann der erste Stift vergeben, so bleiben für die zweite Person noch zwei Möglichkeiten. Nach Austeilen des zweiten Stiftes ist für die dritte Person schließlich nur noch eine Möglichkeit übrig: Person 1 erhält Person 2 erhält Person 3 erhält R S B Permutationen mit Wiederholungen Bei Permutationen mit Wiederholungen sind im Gegensatz dazu nicht alle Elemente unterscheidbar.
Wie viele Möglichkeiten gibt es? $$ {49 \choose 6} = 13. 983. 816 $$ Beim Lotto gibt es 13. 816 mögliche Zahlenkombinationen. Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
}{(n-k)! \cdot k! } = {n \choose k} $$ ${n \choose k}$ bezeichnet man auch als Binomialkoeffizient. Binomialkoeffzient in den Taschenrechner eingeben Wie gibt man den folgenden Ausdruck am besten in den Taschenrechner ein? $$ {10 \choose 5} $$ Bei den meisten Taschenrechner gibt es dafür die nCr -Taste. Beispiel Casio: [1][0] [Shift][ $\div$] [5] [=] 252 Beispiele Beispiel 1 In einer Urne befinden sich fünf gleichartige Kugeln. Es sollen drei Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen gezogen werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es? $$ {5 \choose 3} = 10 $$ Es gibt 10 Möglichkeiten 3 von 5 Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen. Beispiel 2 Aus einer 30 köpfigen Schulklasse dürfen 4 Schüler die nahegelegene Universität besichtigen. Wie viele Auswahlmöglichkeiten hat der Lehrer für dieses Ausflug? $$ {30 \choose 4} = 27405 $$ Der Lehrer kann aus 27405 Möglichkeiten die Ausflugsgruppe bestimmen. Beispiel 3 Beim Lotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen.
Die Kombinatorik hilft bei der Bestimmung der Anzahl möglicher Anordnungen (Permutationen) oder Auswahlen (Variationen oder Kombinationen) von Objekten. In diesem Kapitel schauen wir uns die Kombination ohne Wiederholung an, die folgende Frage beantwortet: Wie viele Möglichkeiten gibt es, $\boldsymbol{k}$ Kugeln aus einer Urne mit $\boldsymbol{n}$ Kugeln ohne Beachtung der Reihenfolge und ohne Zurücklegen zu ziehen? Definition Formel ${n \choose k}$ wird k aus n (früher auch: n über k) gesprochen. Herleitung Der einzige Unterschied zwischen einer Variation ohne Wiederholung und einer Kombination ohne Wiederholung ist die Tatsache, dass bei der Kombination – im Gegensatz zur Variation – die Reihenfolge der Objekte keine Rolle spielt. Die Formel für die Variation ohne Wiederholung kennen wir bereits $$ \frac{n! }{(n-k)! } $$ Dabei können die $k$ ausgewählten Objekte auf $k! $ verschiedene Weisen angeordnet werden. Da aber die Reihenfolge bei der Kombination unerheblich ist, lautet die Formel entsprechend $$ \frac{n!
Nach dem ersten Ziehen, bleiben noch (n-1) Elemente übrig, die für das zweite Ziehen verwendet werden können. Also haben wir beim zweiten Zug der Anordnung noch (n – 1), beim dritten Ziehen sind es noch (n – 2) Möglichkeiten und beim k-ten Zug sind es noch (n – k + 1) Möglichkeiten. Damit erhalten wir (Anordnungen mit Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung der Elemente) folgende Möglichkeiten der Anordnung der Ereignisse: Möglichkeiten = n · (n -1) · (n – 2) · (n – 3) · … · (n – k + 1) = n! : (n – k)! Der Unterschied zwischen Variation und Kombination ist, dass keine Reihenfolge bei der Kombination möglich ist. Daher hat man bei der Kombination auch weniger Möglichkeiten, als bei der Variation. Dies muss in der obigen Formel berücksichtigt werden. Daher muss die Gesamtzahl der Möglichkeiten durch die Anzahl der möglichen Anordnungen der Elemente (die gezogen werden) dividiert werden. Die Anzahl ist k1· k2· k3 … = k! Damit erhalten wir (Anordnungen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne Wiederholung der Elemente) folgende Möglichkeiten der Anordnung der Elemente (Kombinationen ohne Wiederholung): Möglichkeiten = [n · (n -1) · (n – 2) · (n – 3) · … · (n – k + 1)]: k!