Lesezeit: 3 min Die allgemeinen Rechenregeln für Wurzeln werden hier dargestellt. Potenz und Wurzel heben sich gegenseitig auf (das Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens). \( \sqrt [ 2]{ x^2} = x \\ \sqrt [ a]{ x^a} = x \) Der Exponent der Potenz kann aus der Wurzel herausgezogen werden: \sqrt [ \textcolor{red}{a}]{ x^\textcolor{blue}{b}} = (\sqrt [ \textcolor{red}{a}]{ x})^\textcolor{blue}{b} Bei Umwandlung einer Wurzel in eine Potenz geht der Wurzelexponent in den Exponenten der Potenz wie folgt über: \sqrt [ \textcolor{red}{a}]{ x^\textcolor{blue}{b}} = x^{\frac { \textcolor{blue}{b}}{ \textcolor{red}{a}}} Dies ist immer problemlos möglich, wenn x positiv ist und a eine natürliche Zahl. Potenz und wurzelgesetze übungen. Ansonsten kann es unter Umständen zu Widersprüchen kommen. Wenn wir den Standardfall haben, also einfach eine Wurzel aus einer Zahl ziehen, dann können wir so umwandeln: \sqrt [ \textcolor{red}{a}]{ x} = \sqrt [ \textcolor{red}{a}]{ x^1} = x^{\frac { 1}{ \textcolor{red}{a}}} Die Wurzel aus 1 ist stets 1, da 1 hoch jede beliebige Zahl stets 1 ergibt: \sqrt [ \textcolor{red}{a}]{ \textcolor{green}{1}} = 1 \xrightarrow{denn} 1^\textcolor{red}{a} = \textcolor{green}{1} \)
Das Potenzieren entspricht, wie bereits im Abschnitt Rechnen mit reellen Zahlen erwähnt, einem mehrfachen Multiplizieren; das Wurzelziehen hingegen der Umkehrung des Potenzierens. Auf einige der dafür relevanten Rechenregeln wird im folgenden Abschnitt näher eingegangen, ebenso auf das Logarithmieren als zweite Möglichkeit, einen Potenz-Term nach der gesuchten Variablen aufzulösen. Rechenregeln für Potenzen und Wurzeln ¶ Unterscheiden sich zwei Potenzen in ihrer Basis und/oder in ihrem Exponenten, so kann eine Addition oder Subtraktion beider Potenzen nicht weiter vereinfacht werden. Multiplikationen und Divisionen von Potenzen mit ungleicher Basis und/oder ungleichem Exponenten lassen sich hingegen mit Hilfe der folgenden Rechenregeln umformen. Rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis Potenzen können miteinander multipliziert werden, wenn sie eine gemeinsame Basis besitzen. Potenz und wurzelgesetze pdf. In diesem Fall werden die Exponenten addiert: Nach dem gleichen Prinzip können Potenzen mit gleicher Basis dividiert werden, indem man die Differenz ihrer Exponenten bildet: Diese Gleichung erlaubt es, eine Potenz mit negativem Exponenten als Kehrwert einer Potenz mit positivem Exponenten aufzufassen.
Mathematik 5. Potenzen und Wurzeln Rechenregeln und Rechenverfahren. Klasse ‐ Abitur Für das Rechnen mit Potenzen gelten die folgenden Rechengesetze: Vorrangregel: Potenzen werden zuerst berechnet ("Potenz vor Punkt vor Strich"): Beispiel: \(4+5^3\cdot6=4+125\cdot6=4+750=754\) Achtung: Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn Basis und Exponent gleich sind: Beispiele: \(5\cdot2^6+4\cdot2^6=9\cdot2^6=9\cdot64=576\) Der Ausdruck \(6\cdot5^2+2\cdot3^4\) kann nicht zusammengefasst werden! Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen multipliziert und die Exponenten beibehält: a n · b n = ( a · b) n für alle \(a, b \in \mathbb R, \ n \in \mathbb N\) Beispiele: \(3^5\cdot=(3\cdot2)^5=6^5=7776\) \((-4)^3\cdot5^3=(-4\cdot5)^3=(-20)^3=-8000\) Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und die Exponenten beibehält: \(\displaystyle a^n\! :b^n = \frac{a^n}{b^n} = \left( \frac a b \right)^n\) für alle \(a \in \mathbb R, \ b \in \mathbb R\!
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Würfelspiel Potenzgesetze Das Würfelspiel ist jeweils für bis zu sechs Personen. Benötigt werden: für jede Spielerin und jeden Spieler ein Spielplan sechs Zahlenwürfel ein Blatt für Notizen Es wird reihum mit allen sechs Würfeln gleichzeitig gewürfelt. In jeder Spielrunde trägt jede Spielerin und jeder Spieler die gewürfelten Augenzahlen auf seinem Spielplan in die Kästchen eines der Felder ein. Bei den weißen Feldern 1 bis 4 soll dabei jeweils der Wert des Terms möglichst groß, bei den grauen Feldern 5 bis 8 möglichst klein sein. Nach acht Spielrunden, wenn die Kästchen in allen Feldern ausgefüllt sind, bestimmt jede Spielerin und jeder Spieler den Term in allen Feldern seines Spielplans. Zum Schluss subtrahiert jede Spielerin und jeder Spieler die Summe der grauen Felder von der Summe der weißen Felder. Wurzelgesetze - Potenz- und Wurzelrechnung einfach erklärt | LAKschool. Es kann ein Taschenrechner eingesetzt werden. Das Ergebnis soll als Dezimalzahl so genau wie möglich ermittelt werden. Gewonnen hat die Spielerin oder der Spieler, welche oder welcher am Ende des Spiels die größte positive Zahl erreicht hat.
Entsprechend lassen sich auch Brüche potenzieren, indem sowohl Zähler wie auch Nenner den gleichen Exponenten erhalten. Eine wichtige Rolle hierbei spielt die Potenz. Je nachdem, ob geradzahlig (durch teilbar) ist oder nicht, hebt sich das Vorzeichen auf bzw. bleibt bestehen: Diese Besonderheit ist mit der Multiplikationsregel "Minus mal Minus gibt Plus" identisch. Potenz- und Wurzelgesetze - Lyrelda.de - YouTube. Kombiniert man Gleichung (6) mit der obigen Gleichung, indem man setzt und beide Seiten der Gleichung vertauscht, so gilt für beliebige Potenzen stets: Eine negative Basis verliert durch ein Potenzieren mit einem geradzahligen Exponenten somit stets ihr Vorzeichen. Durch Potenzieren mit einem ungeradzahligen Exponenten bleibt das Vorzeichen der Basis hingegen erhalten. Rechenregeln für Wurzeln und allgemeine Potenzen Neben der ersten Erweiterung des Potenzbegriffs auf negative Exponenten als logische Konsequenz aus Gleichung (3), die sich auf die Division zweier Potenzen bezieht, ist auch anhand Gleichung (5), die Potenzen von Potenzen beschreibt, eine zweite Erweiterung des Potenzbegriffs möglich.