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Im zwei- und dreidimensionalen Raum unserer Anschauung sind dies die Komponenten des Drehimpulses, der demnach unter den gegebenen Bedingungen, zum Beispiel in einem Zentralkraftfeld, ein Integral der Bewegung ist. Methoden zur Gewinnung der Integrale Folgende Methoden sind bei der Gewinnung der Integrale gebräuchlich: Bei der mehr oder weniger systematischen Suche nach Zusammenhängen in experimentellen oder numerisch simulierten Daten können Konstanten auffallen und im Nachhinein als solche anhand der Bewegungsgleichungen mathematisch nachgewiesen werden. In der Kreiseltheorie wurden mit Erfolg allgemeine, mit Parametern versehene Ansätze gemacht und anhand der Bewegungsgleichungen diejenigen Parameter gesucht, die auf Konstanten führen. Im Lagrange-Formalismus weisen zyklische Koordinaten auf erste Integrale hin. Mit dem Hamilton-Jacobi-Formalismus werden systematisch zyklische Koordinaten konstruiert, wobei sich das Auffinden eines Integrals auf die Lösung der Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung verlagert.
Zyklische Variable und Integrale der Bewegung Tritt eine Variable, z. B., die das System beschreibt, in der Lagrangefunktion nicht auf, heißt sie zyklisch. Zum Beispiel im Zentralproblem ist die Variable zyklisch. Wegen des periodischen Charakters von bei gebundenen Zuständen ist der Name zyklisch zutreffend; davon wird er mit der neuen Bedeutung auf den allgemeinen Fall ( 12. 27) übertragen, selbst wenn die Bewegung nicht mehr periodisch ist. Aus der Lagrangeschen Gleichung 2. Art für, Gl. ( 11. 38), und aus der Definition des kanonischen Impulses, Gl. ( 12. 9), folgt, dass der zur zyklischen Variablen, konjugierte Impuls, zeitlich konstant, also ein Integral der Bewegung, ist: Die verallgemeinerte Geschwindigkeit,, muß aber in der Lagrangefunktion vorkommen, sonst ist die Variable sinnlos. Aus der vorhergehenden Gleichung folgt, daß auch in der Hamiltonfunktion nicht vorkommt: ( 12 29) Zusammenfassend: Jede zyklische Koordinate ist in der Hamiltonfunktion nicht enthalten, wohl aber ihr konjugierter Impuls.
[2] Generell bleiben die Größen nur unter speziellen, idealisierten Bedingungen – im mathematischen Modell – unveränderlich, wie zum Beispiel die Gesamtenergie in einem isolierten System. Denn die Unterdrückung jedweder Wechselwirkung des Systems mit seiner Umgebung lässt sich in der Realität nur temporär und näherungsweise sicherstellen, siehe Irreversibler Prozess. Beispiele [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Bei konstanter Beschleunigung ist, wo c eine Konstante ist und die Überpunkte die zweite Zeitableitung bilden. Die Funktion ist dann ein Integral der Bewegung, was sich durch Ableitung nach der Zeit nachprüfen lässt. Ein Beispiel mit expliziter Abhängigkeit des Integrals von der Zeit liefert die gleichförmige Bewegung. Bei ihr ist konstant. Wenn das Skalarprodukt "·" der Beschleunigung mit der Geschwindigkeit jederzeit verschwindet, die beiden Vektoren also jederzeit senkrecht zueinander sind, dann ist das Geschwindigkeitsquadrat ein Integral der Bewegung: Wenn die Beschleunigung proportional zum Ortsvektor ist, mit skalarem f und Komponenten bezüglich der Standardbasis ê i, dann sind die Differenzen Konstanten der Bewegung.
10 Die vollständige Klassifizierung der Normalformen quadratischer Hamilton-Funktionen geht auf D. M. Galin zurück und wird beispielsweise in [ Ar89, Anhang 6] diskutiert. Man vergleiche auch Anhang A.... Koordinaten 1. 11 Bisher haben wir die Transformation von einem,, aktiven`` Standpunkt aus betrachtet und sie als eine Transformation interpretiert, die bei festliegendem Koordinatensystem eine Hamilton-Funktion in eine andere transformiert. Man kann aber auch eine,, passive`` Position einnehmen, und den Vorgang als eine Koordinatentransformation bei unveränderter Hamilton-Funktion ansehen. Dieser zweite Standpunkt wird der gewöhnliche sein, wenn man für ein gegebenes System ein (näherungsweises) Integral der Bewegung berechnen will. In diesem Licht betrachtet ist es klar, daß das gefundene Integral schließlich auf die ursprünglichen Koordinaten umzurechnen ist. Martin_Engel 2000-05-25
[2] In der Theorie des schweren Kreisels existieren immer drei erste Integrale (der Euler-Poisson-Gleichungen) bei sechs Unbekannten. Wenn noch ein viertes Integral gefunden wird, dann kann mit einer von Carl Gustav Jacob Jacobi ersonnenen Methode [8] noch ein fünftes Integral konstruiert werden, womit die Bewegungsgleichungen gelöst sind. Denn eine der sechs Unbekannten übernimmt die Rolle der unabhängigen Variable, da die Zeit in den Gleichungen nicht explizit vorkommt. [9] In physikalischen Gesetzen sind Bewegungsgleichungen in der Regel Systeme von Differentialgleichungen zweiter Ordnung, wie Newton's Gravitationsgesetz oder das Coulomb-Gesetz. Eine nur vom Ort und der Geschwindigkeit abhängende Konstante lässt sich in solchen Systemen durch fortgesetzte Zeitableitung der Bewegungsgleichung in eine Taylor-Reihe entwickeln, siehe Lösung des N-Körper-Problems mit einer Taylor-Reihe. Meist wird unter einem ersten Integral jedoch eine Funktion verstanden, die in einfacher Weise aus elementaren Funktionen ihrer Argumente aufgebaut ist, wobei gelegentlich auch noch eine Quadratur auszuführen ist.
Meine Erfahrung: Es geht darum, ein bewusster Ausdruck der riesigen Kräfte zu sein, zu denen wir Menschen als uralte Wesen Zugang haben, ja die wir sind. Zu lehren ist ein Schlag ins Gesicht der unermesslichen Kräfte, die in uns sind und durch uns wirken. Deshalb lege ich meine Rolle als Lehrer nieder. Meinen Weg und meine Forschungsergebnisse habe ich ausführlich in Büchern dokumentiert. Zum jetzigen Zeitpunkt bewege ich mich mehr für mich (siehe dazu auch die Log-Einträge). Die Bücher laden dich als Ressource ein, den Impuls in dir zu finden und freizulegen, der dich bewegt. Sie sind eine Einladung in deine Tiefe, in deinen Mythos.