Ausführliche Lösung 5e Zeichnen Sie den Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem. Ausführliche Lösung 5f Zeichnen Sie den Graphen der Funktionen in ein geeignetes Koordinatensystem. Ausführliche Lösung 6a Bestimmen Sie von folgender Funktion die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen so gut wie möglich. Legen Sie eine Wertetabelle an und berechnen Sie einige Werte mit dem Taschenrechner. Schätzen oder falls möglich, bzw. berechnen Sie die Nullstellen. Ausführliche Lösung Die Intervalle innerhalb derer sich jeweils eine Nullstelle befindet lässt sich über Vorzeichenwechsel der Funktionswerte finden. Bestimmen sie die losing weight. 6b Bestimmen Sie von folgender Funktion die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen so gut wie möglich. Ausführliche Lösung Die Vermutung liegt nahe, dass der Graph die x- Achse im Punkt P x2 berührt. Diese Vermutung ist zu überprüfen. Die Annahme war richtig. 6c Bestimmen Sie von folgender Funktion die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen so gut wie möglich. Ausführliche Lösung Zur Lösung dieser Aufgabe sollte man einen grafikfähigen Taschenrechner verwenden.
Addiert man sie zu einer anderen Zahl, kommt ein anderes Ergebnis dabei heraus, als wenn man sie subtrahiert. Man hat daher zwei verschiedene Ergebnisse und auch zwei verschiedene Lösungen. Die Wurzel von 0 ist 0. Ob ich nun 0 zu einem Term addiere oder von ihm abziehe, macht keinen Unterschied. Deshalb gibt es hier auch nur eine Lösung. Wurzeln sind für negative Werte nicht definiert. Da die Diskriminante aber negativ ist, kann die Gleichung keine reellen Lösungen haben. Bestimmen sie die lösungsmenge der gleichung. Beispiel x ²-1 Diskriminante > 0 Zwei Lösungen x ² Diskriminante = 0 Eine Lösung x ²+1 Diskriminante < 0 Keine Lösung
Zur Lösung dieses Problems kann man auf einige Regeln zurückgreifen: Eine Differentialgleichung bzw. deren Lösung ist im Allgemeinen eine Funktion und bildet damit einen Graphen ab. Jeder Punkt auf dem Graphen kann zugeordnet werden. Mit einem gegebenen Anfangswert kann nun die eindeutige Lösung berechnet werden um so aus der Fülle der Lösungen einer Differentialgleichung eine bestimmte Lösung auszuwählen (oft als Anfangswertproblem (AWP), Anfangswertaufgabe (AWA) oder Cauchy-Problem bezeichnet). Bestimme die Gleichung von Exponentialfunktionen. Beispiel: y´(x) = x Die Lösung dieser Differentialgleichung (Stammfunktion) ist F(x) = 0, 5·x² + C (C ist eine Konstante). Nun kann man sich einige Lösungsfunktionen einmal betrachten: Lösungen der Differentialgleichung All diese Funktionen sind Lösungen der Differentialgleichung. Sucht man aber einen bestimmten Punkt, so ist nur eine der Lösungen exakt. Soll der Punkt (4, 5 / 11, 125) auf dem Graphen liegen, so kommt als Lösung der Differentialgleichung nur F(x) = 0, 5x² + 1 in Frage. Wie löst man nun das Anfangswertproblem?
Die Linearkombinationen der vier Vektoren mit den Faktoren t 1, t 2, t 3, t 4 stellen die Lösungen des zugehörigen homogenen Gleichungssystems AX = 0 dar. Diese Beschreibung der Lösungsmenge entspricht gerade derjenigen im ersten Kasten (1). BIREP Last modified: Sun Nov 7 10:28:35 CET 2004
Das Lösen von linearen Gleichungssystemen Sei K ein Körper. Gegeben seien eine (m×n)-Matrix A und eine (m×1)-Matrix b mit Koeffizienten in K. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem dabei bedeutet X die (n×1)-Matrix mit Koeffizienten X 1,..., X n (man nennt sie "Unbekannte" oder "Variable"). Gemeint ist folgendes: Gesucht sind "Lösungen dieses Gleichungssystems", unter der Lösungsmenge Lös(A, b) versteht man folgendes: Lös(A, b) = { x in M(n×1, K) | Ax = b} (1) Um alle Lösungen des Gleichungssystems AX = b zu erhalten, sucht man üblicherweise eine Lösung x' von AX = b und alle Lösungen x des homogenen Gleichungssystems AX = 0. und man bildet x'+x. Lösungsenthalpie. Auf diese Weise erhält man alle Lösungen: Lös(A, b) = x' + Lös(A, 0). Beachte: Lös(A, 0) ist eine Untergruppe von M(n×1, K), die unter Skalarmultiplikation abgeschlossen ist (ein "Unterraum"). Dabei setzen wir: x' + Lös(A, 0) = {x'+x | x in Lös(A, 0)}. Weiterführende Bemerkung: Eines der wichtigsten Themen der Lineare Algebra ist die Untersuchung von derartigen "Unterräumen", dies wird bald geschehen.
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