Pascalsches Dreieck In diesem Kapitel geht es um das Pascalsche Dreieck. Dieses Thema ist in das Fach " Mathematik " einzuordnen. Das Pascalsche Dreieck gehört zu den Rechengesetzen. Wir erklären dir in den folgenden Abschnitten die wichtigsten Begriffe zum Thema "Pascalsches Dreieck " und verdeutlichen dir das Ganze noch an Beispielen. Am Ende dieses Kapitels bist du sicher ein Profi! ☺ Am Schluss haben wir dir noch einmal das Wichtigste zu diesem Thema zusammengefasst! Das Pascalsche Dreieck – die Basics zuerst! Das Pascalsche Dreieck zeigt dir ein Schema von Zahlen, welche in einem Dreieck angehört sind. Das Pascalsche Dreieck. Pascalsches Dreieck: Funktionsweise, Beispiele, Erklrungen - Binomische Formel. Das Dreieck beginnt mit der Zahl "1" und kann ewig lange nach unten hin erweitert werden. Wie setzt sich das Dreieck zusammen? Ganz oben im Pascalschen Dreieck steht die Zahl "1". An den anderen Stellen, steht jeweils immer die Summe aus den beiden oberen Zahlen. Schau dir doch die nachfolgende Grafik an, dort erkennst du diesen Zusammenhang gut. Beispielsweise ergibt sich die Zahl "2" in der dritten Zeile, indem du die beiden Einsen der zweiten Zeile addierst.
Die Gesamtanzahl der Wege zu diesem Kästchen ist also die Summe der Anzahl der Wege zu den beiden darüber. Das ist aber genau die Art und Weise, wie das Pascalsche Dreieck konstruiert ist! Andererseits kann man die Anzahl der Wege auch über den Binomialkoeffizienten berechnen. Auf dem Weg nach unten in die n n -te Zeile (mit 0 angefangen zu zählen! ) trifft man nämlich n n mal die Entscheidung, nach links unten oder rechts unten zu gehen. Will man in einer Zeile dann zum k k -ten Kästchen von links (wieder von 0 an) gelangen, muss man sich genau k k mal für "rechts" entschieden haben. Pascalsches Dreieck. Die Wege unterscheiden sich also nur darin, an welchen Stellen man sich für "rechts" entschieden hat. Zum Abzählen muss man also nur die Anzahl der Möglichkeiten berechnen, aus n n Stellen k k Stellen auszuwählen (die "rechts"-Schritte). Das ist dann aber genau eine der wichtigsten Anwendungen des Binomialkoeffizienten Die Zahlen im Pascalschen Dreieck lassen sich also einerseits rekursiv über die Summe der darüberliegenden Kästchen berechnen, oder direkt mithilfe des Binomialkoeffizienten.
Es fällt auf, dass eine Zahl immer die Summe der oberen beiden Zahlen ist. Die Zehn aus dem Beispiel, die hier rot gefärbt ist, ist zum Beispiel die Summe von den darüberliegenden Zahlen 4 und 6. Das kann man durch die Kombinationsschreibweise und deren Formel leicht beweisen: Wir nehmen wieder unsere rote Beispielzahl und den dazu passenden Ausschnitt aus dem Dreieck: Der Wert links über ist also, und rechts darüber ist. Nun wird daraus eine Gleichung gemacht: Heraus kommt also eine wahre Aussage. Damit ist der Beweis fertig. Eine interessante Seite zum Pascalschen Dreieck ist. Verallgemeinerung zum Pascalschen Tetraeder
Das Pascalsche Dreieck ist ein Schema von Zahlen, die in Dreiecksform angeordnet sind. Es kann beliebig weit nach unten erweitert werden. Konstruktion An der obersten Stelle steht eine eins. An allen anderen Stellen steht je die Summe der beiden Zahlen darüber. Zusammenhang zu den Binomial- koeffizienten Am Pascalschen Dreieck kann man direkt die Binomialkoeffizienten ablesen. Dazu nummeriert man die Kästchenzeilen (vertikal) und Kästchenspalten (horizontal) mit 0 beginnend. Der Wert von ( n k) \binom{n}{k} steht in der n n -ten Zeile im k k -ten Kästchen. Warum? Eine Möglichkeit, den Zusammenhang zu sehen, ist, sich vorzustellen, man stünde auf dem obersten Kästchen und wolle ein bestimmtes Kästchen erreichen, wobei man sich nur kästchenweise und immer nur abwärts bewegen darf. Dann entspricht in jedem Kästchen die Zahl darin genau der Anzahl der verschiedenen Wege dorthin. Denn zu einem bestimmten Kästchen kann man nur über eines der beiden darüber gelangen, man darf sich ja nur abwärts bewegen.
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