Intervallschachtelung um die Wurzel einer Zahl zu bestimmen | Mathe by Daniel Jung - YouTube
Die Zahl \(\sqrt{2}\) wird somit durch die Intervalle \([1; 2], [1, 4; 1, 5], [1, 41; 1, 42], [1, 414; 1, 415]\)... "eingeschachtelt".
Aufgrund der Berechnungen in Beispiel wissen wir, dass in einem angeordneten Körper, der die enthält, diese in den zunehmend kleiner werdenden Intervallen liegt. Die Länge der Intervalle ist hier. Diese Intervalle gibt es auch in und sie helfen bei der Lokalisierung von, auch wenn diese Zahl gar nicht zu gehört. Intervallschachtelung wurzel 5.3. Der Vorteil einer solchen Intervallschachtelung gegenüber der Dezimalbruchfolge ist, dass sie den Wert von beiden Seiten her eingrenzt, während die Dezimalbruchfolge direkt nur untere approximierende Werte liefert. Wenn man beliebige konvergente Folgen betrachtet, so weiß man nur, dass grundsätzlich eine Approximation vorliegt, ohne dass man dies quantitativ ausdrücken kann. Bei einer Intervallschachtelung gibt jedes beteiligte Intervall eine direkte Eingrenzung, aus der der maximale Fehler unmittelbar abschätzbar ist. Eine spezielle Methode ist die Intervallhalbierung. Dabei halbiert man das zuvor gefundene Intervall in zwei gleichlange Hälften und schaut, ob das gesuchte Element zur kleineren oder zur größeren Hälfte gehört und nimmt dann das passende Intervall als nächstes Intervall.
Ohne die vielseitige Einsetzbarkeit zu verlieren, kann man das Verfahren dem Dezimalsystem dadurch anpassen, dass jedes Intervall in zehn gleiche Teile zerlegt wird. Allerdings muss man häufiger prüfen, welches der Teilintervalle die gesuchte Zahl enthält. Dann aber liefert jeder Teilschritt eine Dezimalstelle mehr.
Wurzelziehen mittels Intervallschachtelung (Schleifen)
Ein Möglichkeit manuell Quadratwurzeln aus einer Zahl zu ziehen ist die Intervallschachtelung. Schreibe eine Funktion, die die oberen und unteren Grenzwerte ausgibt bis eine Näherung an die tatsächliche Wurzel eingetreten ist. (Genauikeit: 5 Stellen hinter dem Komma)
Vorgehen:
Finde zwei Nachbarzahlen (größer und kleiner), die ganzzahlige Quadratwurzel haben. Dies
sind die oberen und unteren Grenzwerte. Annäherung an die Wurzel mittels Intervallschachtelung:
Das Quadrat des Mittelwerts der Summe des oberen und unteren
Grenzwertes ergibt einen Wert k, der größer oder kleiner als x ist. Intervallschachtelung. Intervallschachtelung. Ermitteln von Wurzeln mit Hilfe der Intervallschachtelung. Ist der Wert k größer x, so ist er der Mittelwert der neue
obere Grenzwert
Ist der Wert k kleiner x, so ist er der Mittelwert der neue
untere Grenzwert. Klingt kompliziert, ist aber hier deutlich anschaulicher erklärt. 0 Kommentare
4 Lösung(en)
ruby
csharp
cpp
# frozen_string_literal: false
def my_sqrt(x)
r_control = (x)
limit = 0. 000001
puts format('Die gesuchte Wurzel ist%
Wir konnten die näherungsweise Lösung, also auf das Intervall zwischen 8, 7 und 8, 8, einschränken. Bei der Berechnung der zweiten Nachkommastelle, gehen wir genauso vor. Zunächst teilen wir das Intervall genau in der Mitte, also bei 8, 75. 8, 75 hoch 2 ergibt etwa 76, 56, was größer ist als 76. Damit muss die Wurzel aus 76, also im Intervall zwischen 8, 70 und 8, 75 liegen. Du siehst, das Intervall wird immer kleiner und wir nähern uns immer weiter der Lösung an. Wie zuvor bei der ersten Nachkommastelle, erhöhen wir nun die zweite Nachkommastelle jeweils um 1 und berechnen die jeweiligen Quadrate. Als erstes überprüfen wir die 8, 71. 8, 71 hoch 2, ergibt etwa 75, 86 was kleiner ist als 76. Für die Lösung bedeutet das, dass die Wurzel aus 76 zwischen 8, 71 und 8, 75 liegt. Intervallschachtelung Einführung - lernen mit Serlo!. Überprüfen wir die 8, 72. Das Quadrat ergibt etwa 76, 04, ist also größer als 76, sehr schön! [nicht ironisch! Wir freuen uns wirklich! ] Wir haben also das Lösungsintervall weiter eingegrenzt. Und die Wurzel aus 76, liegt also zwischen 8, 71 und 8, 72.
[2] Konstruktion der reellen Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Es gilt nun, dass es für jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen höchstens eine rationale Zahl gibt, die in allen Intervallen enthalten ist, die also für alle erfüllt. [3] Es stimmt aber nicht, dass jede Intervallschachtelung rationaler Zahlen mindestens eine rationale Zahl enthält; um eine solche Eigenschaft zu erhalten, muss man die Menge der rationalen Zahlen zur Menge der reellen Zahlen erweitern. Dies lässt sich beispielsweise mit Hilfe der Intervallschachtelungen durchführen. Dazu sagt man, jede Intervallschachtelung definiere eine wohlbestimmte reelle Zahl, also. Intervallschachtelung - Zahlenbereiche einfach erklärt!. [4] Da Intervalle Mengen sind, kann zur Verdeutlichung des Schnitts aller Intervalle der Schachtelung auch geschrieben werden:. Die Gleichheit reeller Zahlen definiert man dann über die entsprechenden Intervallschachtelungen: genau dann, wenn stets und. [5] Auf analoge Weise lassen sich die Verknüpfungen reeller Zahlen als Verknüpfungen von Intervallschachtelungen definieren; beispielsweise ist die Summe zweier reeller Zahlen als definiert.
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