Die Koordinaten des Richtungsvektors $\vec{BA}$ können nun entweder grafisch ermittelt werden oder rechnerisch. Die grafische Vorgehensweise ist jedoch häufig recht aufwendig, weshalb die rechnerische Lösung vorgezogen wird. In der obigen Grafik können die Koordinaten in $x$- und $y$-Richtung des Richtungsvektors hingegen einfach grafisch ermittelt werden: $\vec{BA} = (5, -1)$ Um vom Ursprung des Vektors (B) zur Spitze (A) zu gelangen, müssen 5 Schritte in positive $x$-Richtung und 1 Schritt in negative $y$-Richtung gemacht werden. Video wird geladen... Falls das Video nach kurzer Zeit nicht angezeigt wird: Anleitung zur Videoanzeige Vektor aus zwei Punkten: Richtungsvektor Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Gegeben sei der Punkt $A(1, 4)$ und der Punkt $B(4, 3)$. Bestimme die Ortsvektoren und die beiden Richtungsvektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BA}$. Die beiden zugehörigen Ortsvektoren sind $\vec{a} = \vec{OA} =\left( \begin{array}{c} 1\\ 4 \end{array} \right)$ $\vec{b} = \vec{OB} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right)$ Es ist deutlich zu erkennen, dass die Koordinaten der Ortsvektoren mit den Koordinaten des jeweiligen Punktes übereinstimmen.
Wie berechne ich die Gleichung einer Geraden, wenn zwei Punkte gegeben sind? Dies untersuchen wir hier, und zwar auch für Sonderfälle. Berechnung der Steigung aus zwei Punkten Machen Sie sich noch einmal bewusst, wie Sie vorgehen, wenn Sie aus einer Zeichnung die Steigung herausfinden sollen: Sie wählen zwei Punkte, zeichnen das Steigungsdreieck ein und ermitteln dann, wie viele Schritte Sie nach rechts und anschließend nach oben oder unten gehen müssen. Die entsprechenden Werte dividieren Sie. In der nebenstehenden Skizze geht man beispielsweise vier Schritte nach rechts. Rechnerisch ergibt sich die vier als Differenz der $x$-Werte: $5-1=4$. Für die $y$-Richtung verfährt man genauso. Differenzen werden manchmal mit $\Delta$ (Delta) bezeichnet, zum Beispiel $\Delta x=x_2-x_1$. Hier die vollständige Grafik: Berechnen wir beide Differenzen und dividieren sie, so erhalten wir die Steigung: Kennt man von einer Geraden zwei Punkte $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ mit $x_1 \not= x_2$, so berechnet man ihre Steigung mit der Formel \[m=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\] Berechnen der Geradengleichung Gesucht ist die Gleichung der Geraden $g$ durch die Punkte $A(\color{#f00}{-2}|\color{#1a1}{1})$ und $B(\color{#f61}{8}|\color{#a61}{6})$.
Der Betrag eines Vektors ist nichts anderes als seine Länge. Berechnen könnt ihr diese so: Für 2D Vektoren: Für 3D Vektoren: Beispiel 2D: Hier seht ihr ein Beispiel für einen Vektor mit diesem Wert zwischen zwei Punkten. Die Länge berechnet man im Prinzip mit dem Satz des Pythagoras. Beispiel 3D: Hier könnt ihr euch mal so einen Vektor mit diesem Wert in 3D zwischen zwei Punkten angucken. Passende Themen Vektoren Vektoraddition und Subtraktion Verbindungsvektor Skalarmultiplikation Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren Kreuzprodukt Linearkombinationen und lineare Unabhängigkeit
Sonderfälle Nur der erste Fall ist ein echter Sonderfall; die anderen beiden Fälle können auch wie oben behandelt werden. Die x-Werte sind gleich Bisher haben wir immer ausgeschlossen, dass die $x$-Koordinaten der beiden Punkte gleich sind. Dann wäre nämlich $\Delta x=0$ und die Steigung nicht definiert, weil man nicht durch Null dividieren kann. Im nebenstehenden Bild sind die Punkte $P(2|-1, 5)$ und $Q(2|1)$ gegeben. Natürlich legen auch diese beiden Punkte eine Gerade fest (jedoch keine lineare Funktion, deswegen der echte Sonderfall), und zwar die Gerade $g\colon x=2$. Die Gerade ist also vom Typ $x=$ gemeinsame $x$-Koordinate. Die y-Werte sind gleich Die Gerade durch die Punkte $A(-1|-1)$ und $B(1|-1)$ lässt sich zwar mit der ausführlichen Methode berechnen, aber schneller geht es, wenn Sie den Typ $y=$ gemeinsame $y$-Koordinate erkennen, also hier $g\colon y=-1$. Einer der beiden Punkte ist der Schnittpunkt mit der y-Achse Die Gerade gehe durch die Punkte $C(8|7)$ und $D(0|5)$. Natürlich geht es mit der Standardmethode, aber es gibt weitere Möglichkeiten, da man am Punkt $D$ den Achsenabschnitt $b=5$ unmittelbar ablesen kann.
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