In der obigen Grafik ist nur der Winkel zur negativen $\sigma$-Achse (zur $\sigma_2$ gehörend) eingezeichnet: $2\alpha^*_2 \approx 22°$ $\alpha^*_2 = 11°$ Der Winkel zur positiven $\sigma$-Achse von der Verbindungslinie ($P_1$ - $\sigma_m$) ausgehend ergibt (nicht eingezeichnet): $2 \alpha^*_1 \approx 202°$ $\alpha^*_1 = 101°$ Rechnerische Probe: $\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 \tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_{y}}$ $2\alpha^* = \tan^{-1} 0, 4 = 21, 80°$. $\alpha^* = 10, 9°$ Da beide Hauptnormalspannungen senkrecht aufeinander stehen, können wir die andere Hauptrichtung wie folgt bestimmen: $\alpha^* + 90° = 10, 9° + 90° = 100, 9° Rechnerisch können wir über die Transformationsgleichungen herausfinden, welcher Winkel zu welcher Hauptnormalspannung gehört: $\sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (-30 + 20) + \frac{1}{2} ( -30 - 20) \cos (2 \alpha) - 10 \sin (2 \alpha) $ $= -31, 93 MPa = \sigma_2$ Damit gehört - wie bereits grafisch ermittelt - der Winkel $\alpha^* = 10, 9° zur Hauptnormalspannung $\sigma_2$.
Der mohrsche Spannungskreis ist ein von Christian Otto Mohr entwickeltes Verfahren zur geometrischen Darstellung von Normal- und Schubspannungen innerhalb eines von Kräften und Momenten belasteten Querschnitts. Spannungstensor und Spannungszustände | einfach erklärt fürs Studium · [mit Video]. In analoger Weise können mit dem mohrschen Trägheitskreis die Flächenträgheits- und die Flächenzentrifugalmomente einer beliebigen Fläche bestimmt werden. In der Festigkeitslehre kann das Verfahren angewendet werden, um mechanische Belastungen in einem Werkstück zu bestimmen. Dabei wird beispielsweise ein Stab in einem Winkel φ geschnitten und die auftretenden Normal- und Schubspannungen in Abhängigkeit von diesem Winkel im Spannungskreis aufgetragen. Ebener Spannungszustand Die beiden Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand sind durch die Formel $ {\sigma _{1, 2}= \atop \}{\underbrace {{\frac {1}{2}}\left(\sigma _{xx}+\sigma _{yy}\right)} \atop {\text{Kreismittelpunkt}}}{\pm \atop \}{\underbrace {\sqrt {\left[{\frac {\sigma _{xx}-\sigma _{yy}}{2}}\right]^{2}+\tau _{xy}^{2}}} \atop {\text{Kreisradius}}} $ zu bestimmen.
Einachsiger Spannungszustand Spannungszustand im Zug- und Druckversuch Wird ein Prüfkörper, der sich voraussetzungsgemäß im ebenen Spannungszustand befinden soll durch eine Zug- oder Druckkraft belastet ( Bild 1), dann entsteht entsprechend den Schnittreaktionen mit dem Schnittwinkel = 0 im Prüfkörper eine der äußeren Belastung F entsprechende Normalkraft F N. Bei Freiheit von inneren oder äußeren Inhomogenitäten wie Lunkern, Einschlüssen oder Kerben sowie Entformungsneigungen verteilt sich die eingeprägte Belastung als Flächenlast über dem Prüfkörperquerschnitt A 0 und wird als normierte Kraft oder Normalspannung entsprechend Gl. (1) angegeben. Beispiel: Mohrscher Spannungskreis - Online-Kurse. Diese Normalspannung x oder N besitzt im Fall der Zugbeanspruchung ein positives und bei Druck ein negatives Vorzeichen und ist unter den genannten Voraussetzungen im Prüfkörperquerschnitt konstant [1, 2]. Der MOHR'sche Spannungskreis Werden die Schnittreaktionen unter einem Winkel > 0 ermittelt, dann erhält man ein Kräfteparallelogramm der Reaktionskräfte ( Bild 2a) und aus den Gleichgewichtsbedingungen ergeben sich nach den Gln.
Du erkennst also, dass die Normalspannung auf der Hauptdiagonalen liegen. Damit du dir das besser vorstellen kannst, stellen wir uns jetzt ein Blatt auf deinem Tisch vor, das wir verschieben: der Normalenvektor der Fläche zeigt jetzt nach oben, die Bewegung ist aber nicht in diese Richtung. Normalvektor am Tisch Ähnlich kannst du dir Schubspannungen vorstellen. Die Matrix selbst ist symmetrisch. Doch was heißt das? Wir können die Matrix an der Hauptdiagonalen spiegeln und erhalten die gleichen Werte. Daraus folgt für uns, dass zum Beispiel ist. Das gilt auch für die übrigen Komponenten. Aus der Matrix können wir auch wieder einen Spannungsvektor für eine bestimme Fläche eines beliebigen Elements bestimmen. Dafür multiplizieren wir den Spannungstensor einfach mit dem Normalenvektor der Fläche, also: Jetzt können wir die Spannung eines Elements beschreiben und wenden uns im nächsten Schritt den möglichen Spannungszuständen zu. Wir unterscheiden hier in drei verschiedene Zustände: Einachsig Eben Räumlich Der einachsige Spannungszustand ist der einfachste Fall.
Dort wo diese Verbindungslinie die $\sigma$-Achse schneidet, liegt der Mittelpunkt und somit die mittlere Normalspannung $\sigma_m$. Der Kreis kann nun vom Mittelpunkt aus durch die beiden Punkte gezeichnet werden. Hauptspannungen und Hauptrichtung Die Hauptspannungen $\sigma_1$ und $\sigma_2$ befinden sich auf dem äußersten Rand des Kreises auf der $\sigma$-Achse, da dort die Schubspannung $\tau_{xy} = 0$ ist. Es gilt $\sigma_2 < \sigma_1$. Das bedeutet, dass $\sigma_1$ immer rechts von $\sigma_2$ liegt. Die Werte können einfach abgelesen werden und ergeben: $\sigma_1 \approx 22 MPa$. $\sigma_2 \approx -32 MPa$ Rechnerische Probe: $ \sigma_{1, 2} = \frac{(\sigma_x + \sigma_y)}{2} \pm \sqrt{(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 +\tau^2_{xy}} $ $\sigma_1 = 21, 93 MPa$ Die Hauptrichtung wird so eingezeichnet, dass von der Verbindungslinie ($P_1$ - $\sigma_m$) aus zur $\sigma$-Achse der Winkel gemessen wird. Der Winkel zur negativen $\sigma$-Achse gilt dabei für die Hauptnormalspannung $\sigma_2$, der Winkel zur positiven $\sigma$-Achse zur Hauptnormalspannung $\sigma_1$.
An dieser Stelle erhalten wir dann eine Schnittkraft. Daraus ergibt sich dann der sogenannte Spannungsvektor. Der Spannungsvektor, zeigt in die gleiche Richtung, in die auch die Schnittkraft zeigt. Er ist definiert als: Die Einheit dieses Vektors ist Newton pro Quadratmeter bzw. Pascal. In der Regel liegt die Spannung in der Größenordnung von Megapascal. Das entspricht Zehn hoch 6 Pascal. direkt ins Video springen Spannung Der gefundene Vektor ist nun abhängig von der Kraft, der Fläche und ihrer Orientierung. Er betrachtet erst einmal nur eine bestimmte Richtung, die vom Schnitt abhängig ist. Um das Problem zu lösen, betrachten wir ein infinitesimal kleines Volumenelement mit orthogonalen Flächen. Das heißt wir betrachten einen ganz kleinen Würfel, bei dem je zwei Flächen in x, y und z-Richtung orientiert sind. Die Orientierung ist gegeben durch den sogenannten Normalenvektor, der aus der Fläche heraus zeigt. Die Normalenvektoren, die in Koordinatenrichtung zeigen, nehmen wir hier als positiv an.
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