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Denn es gilt: Für einen gesamten Umlauf bzw. einen kompletten Schwingungsvorgang (also für die Periodendauer T) gilt ferner: Der Quotient 2T wird als Kreisfrequenz bzw. Winkelgeschwindigkeit (omega) bezeichnet: Damit kann man für den Phasenwinkel auch schreiben: Für den zeitlichen Verlauf der Auslenkung y gilt also: Für eine gleichförmige Kreisbewegung ist die Kreisfrequenz konstant. Es gilt also Wir haben also für eine harmonische Schwingung eine Funktion gefunden, die der Auslenkung y in Abhängigkeit von der Zeit t entspricht. Sie lautet: Diese Funktion können wir Bewegungsgleichung für harmonische Schwingungen nennen. Gleichung für harmonische Schwingungen Die Gleichung für harmonische Schwingungen lässt sich ebenso mit Hilfe der Schwingungsdauer T oder der Frequenz f ausdrücken. Dazu ersetzt du die Kreisfrequenz wieder durch Somit kannst du die Gleichung für harmonische Schwingungen auf verschiedene Art und Weise ausdrücken: Zusatz: Alle schwingenden Systeme werden als Oszillatoren bezeichnet.
Oszillatoren, deren Weg-Zeit-Funktion einer Sinusfunktion entspricht, heißen harmonische Oszillatoren. Relevanz der harmonischen Schwingungsgleichung Nun stellt sich uns die Frage, was wir denn mit der Schwingungsgleichung anfangen können. Die Antwort hierauf ist, dass wir bei einer bekannten Schwingungsdauer oder Frequenz sowie für eine bekannte Amplitude die Auslenkung eines harmonischen Oszillators zu jedem Zeitpunkt t berechnen können. Je nachdem, welche der Größen, T oder f bekannt ist, wählen wir eine der drei o. g. Varianten der Schwingungsgleichung aus. Anwendungsbeispiel für die harmonische Schwingungsgleichung Ein harmonischer Oszillator schwingt mit einer Schwingungsdauer von 1, 2 Sekunden. Die maximale Auslenkung beträgt 12 cm. Zum Zeitpunkt t = 0 s befindet sich der Oszillator in der Ruhelage auf dem Weg nach oben in positive y-Richtung. Frage: Wo befindet sich der Oszillator zu folgenden Zeitpunkten? t = 0, 6 s t = 1 s t = 1, 5 s Lösung: Gegeben sind folgende Werte: T = 1, 2 s ymax = 12 cm Wir setzen in die Schwingungsgleichung für harmonische Schwingungen die gegebenen Werte ein und berechnen so die jeweilige Auslenkung.
Die rücktreibende Kraft auf den schwingenden Körper ist entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung des Körpers aus der Ruhelage, kurz \({{ F}_{{\rm{rück}}}}(y) = - k \cdot y\). Wir sprechen dabei vom sogenannten linearen Kraftgesetz. Erfüllt eine Schwingung eine dieser beiden Bedingungen, so erfüllt sie stets auch die andere. Typische Beispiele Harmonische Schwingungen werden (zumindest bei kleinen Auslenkungen) von einem Federpendel, einem Feder-Schwere-Pendel oder einem Fadenpendel ausgeführt. Exaktere Überlegungen hierzu findest du in den entsprechenden Artikeln. Bewegungsgesetze der Harmonischen Schwingung Der Einfachheit halber beschreibt man in der Schule meist eine harmonische Schwingung, die beim Phasenwinkel \(\varphi = 0\) startet. Dies bedeutet, dass sich der Körper zum Zeitpunkt \(t=0\) in der Ruhelage befindet bzw. seine Kreisbewegung beim Winkel \(\varphi = 0\) startet und sich in die mathematisch positive Richtung dreht (Gegenuhrzeigersinn) bewegt.
Ausführliche Lösung Die Pendellänge beträgt etwa 0, 248 m. 7. Man möchte ein Fadenpendel herstellen, das in einer Sekunde genau eine Halbschwingung ausführt (Sekundenpendel). Welche Länge müsste das Pendel a)am Äquator ( g = 9, 78 m/s 2) b)am Pol ( g = 9, 83 m/s 2) haben? Ausführliche Lösung Wenn die Zeit für eine Halbschwingung 1 Sekunde betragen soll, dann beträgt die Periodendauer des Pendels T = 2 s. a) Am Äquator ist die Länge des Sekundenpendels etwa 0, 991 m. b) Am Pol ist die Länge des Sekundenpendels etwa 0, 996 m. 8. Zum Nachweis der Erdrotation verwendete L. Foucault (1851) ein 67 m langes Pendel. Berechnen Sie die Periodendauer. Ausführliche Lösung Die Periodendauer des Pendels beträgt etwa 16, 42 s. 9. Woran könnte es liegen, wenn eine Pendeluhr im Winter etwas schneller geht als im Sommer? Ausführliche Lösung Im Winter, wenn es kälter ist, zieht sich das Pendel etwas zusammen (Wärmeausdehnung), ist also kürzer. Bei kürzerer Pendellänge wird die Periodendauer geringer und damit die Frequenz größer.
y(t) = ymax · sin( · t) (Achtung: Taschenrechner auf RAD einstellen! ) Für t = 0, 6 s ergibt sich: y(t) = 12 cm · sin( · 0, 6s) = 0 cm Der Sinusterm ergibt 0, also erhält man auch für die Auslenkung den Wert y = 0. Der Oszillator befindet sich also in der Ruhelage. Das ist auch logisch, denn die Zeit t = 0, 6 s entspricht genau der halben Schwingungsdauer. Für t = 1 s ergibt sich: y(t) = 12 cm · sin( · 1s) = -10, 39 cm Der Sinusterm ergibt nun den Wert -0, 866. Multipliziert mit der Amplitude von 12 cm erhält man für die Auslenkung den Wert y = -10, 39 cm. Der Oszillator befindet sich also bei y = -10, 39 cm, also 10, 39 cm unterhalb der Ruhelage, da in der Aufgabenstellung "oben" als positive y-Richtung vorgegeben war. Für t = 1, 5 s ergibt sich: y(t) = 12 cm · sin( · 1, 5s) = 12 cm Der Sinusterm ergibt den Wert 1. Die Auslenkung entspricht also der Amplitude: y = ymax. Der Oszillator befindet sich bei der maximalen Auslenkung 12 cm oberhalb der Ruhelage, also im oberen Umkehrpunkt. Hinweis: Die Auslenkung kann Werte zwischen ymax und -ymax annehmen.