Somit müsste A ja abgeschlossen sein, denn wenn sie nicht offen ist muss sie ja abgeschlossen sein. ABER: In meinem Skript steht als Definition: Eine Teilmenge V von X heißt offen, wenn [... ] gilt. Eine Teilmenge W von X heißt abgeschlossen, wenn X\W offen ist (X\W ist das Komplement von W) Wähle ich nun als unseren Metrischen raum das reelle Intervall B=[a-1, b] ist A Teilmenge davon. Nun folgende Argumentation: B\A=[a-1, a] ist offensichtlich abgeschlossen. Daraus folgt laut des zweiten Teils der Definition, dass A offen ist. Ableitung, gebrochen rationale Funktion? (Mathe, Mathematik, Ableitungsfunktion). Ich habe gelernt, dass die leere Menge und R selber offen und abgeschlossen zugleich sind, jedoch nicht, dass gleiches für Halboffene Intervalle gilt. Aufklärungsbedarf! Ich würde mich über eine kurze Antwort auf die Frage im Titel und eine kurze Begründung freuen! Hinweise auf Fehler in meiner Argumentation würden ich auch begrüßen Danke und LG Max Stuthmann
Möglich ist die Partialbruchzerlegung auch bei unecht gebrochen-rationalen Funktionen. Doch wird man hier, zur Einfachheit, erst einmal per Polynomdivision den Funktionsterm in einen ganz-rationalen und einen echt gebrochen-rationalen Teil aufspalten. Von dem ganz-rationalen Teil kannst du leicht eine Stammfunktion finden. Die Partialbruchzerlegung wendest du dann nur noch auf den gebrochenen Teil an. Was ist das Ziel der Partialbruchzerlegung? Gebrochen rationale Funktion dritten Grades ableiten | Mathelounge. Ziel ist es, eine komplizierte gebrochen-rationale Funktion in mehrere unkomplizierte, leicht zu integrierende Brüche zu zerlegen. Wie berechnet man Polstellen und Nullstellen bei gebrochen-rationalen Funktionen? Nullstellen berechnest du, indem du die Funktion gleich 0 setzt und nach x auflöst. Polstellen berechnest du, indem du schaust, für welche x-Werte der Nenner 0 wird, denn diese Werte sind für die Funktion nicht definiert. Was machst du, wenn der Zählergrad gleich dem Nennergrad ist? Du führst eine Polynomdivision durch, bevor du mit der Partialbruchzerlegung beginnst.
Bei einer ganzrationalen Funktion ist der Funktionsterm ein Polynom. Bildet man den Quotienten zweier Polynome, so führt das in der Regel zu einer neuen Funktion. Ist z. B. p ( x) = x 3 + 2 x und g ( x) = 3 x 2 − 5, dann ergibt sich die Funktion f ( x) = x 3 + 2x 3x 2 − 5. Man legt fest: Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome p ( x) und q ( x) ist, heißt gebrochenrationale Funktion. Gebrochenrationale Funktionen haben die folgende Form: f ( x) = p ( x) q ( x) = a n x n + a n − 1 x n − 1 +... + a 1 x + a 0 b m x m + b m − 1 x m − 1 +... + b 1 x + b 0 ( a i, b i ∈ ℝ; a n ≠ 0; b m ≠ 0) Beispiele für gebrochenrationale Funktionen sind etwa: Beispiel 1: f 1 ( x) = 2x 2 + 5x − 3 3x 3 − 2x + 7 Beispiel 2: f 2 ( x) = x 2 + 1 x 2 − 1 Beispiel 3: f 3 ( x) = x 2 − 4x + 3 x − 2 Ganzrationale Funktionen werden in der Regel nach dem Funktionsgrad eingeteilt. Gebrochen rationale funktionen ableiten 1. Bei gebrochenrationalen Funktionen ist eine solche Einteilung nicht üblich. Bei dieser Klasse von Funktionen vergleicht man den Grad n der Zählerfunktion mit dem Grad m der Nennerfunktion und trifft folgende Unterscheidung: n < m f ist eine echt gebrochene rationale Funktion (siehe Beispiel 1) n ≥ m f ist eine unecht gebrochene rationale Funktion (siehe Beispiele 2 und 3) Bei einer unecht gebrochenen rationalen Funktion kann man den Funktionsterm durch Polynomdivision in einen ganzrationalen Term und einen echt gebrochenen rationalen Term zerlegen.