Beispielaufgabe 1: lineare Unabhängigkeit von 2 Vektoren Aufgabe: Weise nach, dass die beiden Vektoren und linear unabhängig sind. Lösung: Hierfür berechnen wir die Determinante der beiden Vektoren: Da die Determinante ≠ 0 ist, haben wir die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen. Beispielaufgabe 2: lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren Aufgabe: Weise nach, dass die drei Vektoren unabhängig sind. Rechner für Lineare Gleichungssysteme. Lösung: Hierfür berechnen wir die Determinante der drei Vektoren: Da die Determinante ≠ 0 ist, haben wir die lineare Unabhängigkeit nachgewiesen. Wäre die Determinante = 0, wären die Vektoren linear abhängig. Lineare Unabhängigkeit - Alles Wichtige auf einen Blick n Vektoren sind linear unabhängig, wenn kein Vektor ein Vielfaches eines anderen Vektors ist und sich kein Vektor durch eine Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt.
Zeilen und Spalten einer Matrix [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten einer quadratischen Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix. Rationale Unabhängigkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Reelle Zahlen, die über den rationalen Zahlen als Koeffizienten linear unabhängig sind, nennt man rational unabhängig oder inkommensurabel. Lineare unabhaengigkeit rechner . Die Zahlen sind demnach rational unabhängig oder inkommensurabel, die Zahlen dagegen rational abhängig. Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die Definition linear unabhängiger Vektoren lässt sich analog auf Elemente eines Moduls anwenden. In diesem Zusammenhang werden linear unabhängige Familien auch frei genannt (siehe auch: freier Modul).
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Zwei Vektor en im R³ Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt: Methode Hier klicken zum Ausklappen $\lambda_1 \vec{a_1} + \lambda_2 \vec{a_2} = \vec{0}$ mit $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ Nehmen beide $\lambda_i$ den Wert null an, so sind die Vektoren voneinander unabhängig. Demnach gilt für die lineare Abh ängigkeit, dass nicht beide $\lambda_i$ den Wert null annehmen dürfen. Sinnvoll ist es, bei zwei Vektoren die folgende Defintion zu wählen (die Berechnung fällt weniger umfangreich aus): Zwei Vektoren $\vec{a_1}$ und $\vec{a_2}$ sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt: Methode Hier klicken zum Ausklappen $\vec{a_1} = \lambda \vec{a_2}$ Ergibt sich für $\lambda$ ein Wert ungleich null, so sind die beiden Vektoren voneinander abhängig. Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit · [mit Video]. Es gilt also: Zwei Vektoren im $\mathbb{R}^3$ sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander darstellen.
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