Zusammenfassend gilt: \boxed{\mathbf{\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}\;\;\;a, b \in \mathbb{Z}\;\;c, d \in \mathbb{N}^{+}}} Brüche werden dividiert, indem man den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Doppelbrüche: Mit der Regel für die Division rationaler Zahlen lassen sich auch Doppelbrüche berechnen: \boxed{\mathbf{\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}}}
Addition und Subtraktion rationaler Zahlen Angenommen, wir haben \frac{3}{4} einer Pizza und \frac{2}{3} einer weiteren Pizza. Wie viele Pizzen haben wir dann insgesamt? Zur Berechnung der Summe zerschneiden wir jede der beiden Pizzen in Teilstücke gleicher Größe. Das Zerschneiden soll so erfolgen, dass alle Teilstücke beider Pizzen gleich groß sind. Wie groß müssen dann die Teilstücke sein? Wenn wir \frac{3}{4} einer Pizza haben, dann kann man sich diese Pizza aus 3 mal einem Viertel einer ganzen Pizza zusammengesetzt denken. Entsprechend kann man sich die zweite Pizza aus 2 mal einem Drittel einer ganzen Pizza zusammengesetzt denken. Wenn wir nun jedes Viertel der ersten Pizza halbieren, erhalten wir Stücke, die jeweils \frac{1}{4} \div 2 = \frac{1}{4 \cdot 2} = \mathbf{\frac{1}{8}} einer ganzen Pizza ausmachen. Rechnen mit rationalen Zahlen - Mathe. Teilen wir ein Viertel in drei Teile, hat jeder Teil \frac{1}{4} \div 3 = \frac{1}{4 \cdot 3} = \mathbf{\frac{1}{12}} der Größe einer ganzen Pizza. Teilen wir ein Viertel in n Teile, hat jeder Teil \mathbf{\frac{1}{4 \cdot n}} der Größe einer ganzen Pizza.
Rechengesetz für die Addition und die Suktraktion von Brüchen Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man die Brüche "gleichnamig" macht, d. h. man bestimmt einen gemeinsamen Nenner und bringt jeden Summanden auf diesen gemeinsamen Nenner. Als gemeinsamen Nenner bestimmt man sinnvollerweise das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner der beiden Summanden. \boxed{\mathbf{\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} \pm \frac{c \cdot b}{b \cdot d} = \frac{ad \pm bc}{bd}}} Multiplikation und Division rationaler Zahlen Multiplikation mit einer natürlichen Zahl Von einem Mittagessen mit vier Personen ist von jeder Person \frac{1}{3} ihrer Pizza übrig geblieben. Wie viele Pizzen sind insgesam übrig geblieben? Rationale Zahlen Mathematik - 6. Klasse. Das Ergebnis erhalten wir aus der Multiplikation \frac{1}{3} \cdot 4. Weil die Multiplikation aber Addition geschrieben werden kann, erhalten wir: \mathbf{\frac{1}{3} \cdot 4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 1 + 1 + 1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3} = {\frac{4}{3}} Allgemein gilt für die Multiplikation einer rationalen Zahl mit einer natürlichen Zahl: \boxed{\mathbf{\frac{a}{b} \cdot c = \frac{a\cdot c}{b}, \; \; \; a \in \mathbb{Z}, \; b, c \in \mathbb{N}\;\;\; b \ne 0}} Eine rationale Zahl \frac{a}{b} wird mit einer natürlichen Zahl c multipliziert, indem man den Zähler mit der natürlichen Zahl c multipliziert.
Merkmale rationaler Zahlen Die rationalen Zahlen haben folgende Merkmale: Sie sind als Bruch darstellbar (z. B. Dividieren mit rationalen zahlen. \( 1 = \frac{1}{1} \) oder \( 0, 5 = \frac{1}{2} \) oder \( 3, 25 = \frac{13}{4} \)) Sie haben: - keine Nachkommastellen (Beispiel \( 2 = \frac{2}{1} \)), - endlich viele Nachkommastellen (Beispiel \( 1, 5 = \frac{3}{2} \)) oder - unendlich viele Nachkommastellen (Beispiel \( 0, \overline{3} = 0, 333... = \frac{1}{3} \)) Wenn die Zahl unendlich viele Nachkommastellen hat, sind diese periodisch. Rationale Zahlen in der Schule Man spricht in der Schulmathematik meist dann von "rationalen Zahlen", wenn man das Rechnen mit negativen ganzen Zahlen einführt und die ganzen Zahlen außerdem um die Brüche erweitert. Neu ist dann für Schüler insbesondere der Umgang mit negativen Zahlen. Dies kann manchmal zu Missverständnissen führen.
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