Der Satz des Cavalieri gehört in die Mathematik. Und zwar macht dieser Satz, auch als Cavalierisches Prinzip bekannt, Aussagen über die Rauminhalte bestimmter Körper. Der Satz erlaubt es, die Volumengleichheit zu prüfen. Satz des Cavalieri - das sagt er aus Francesco Cavalieri war ein italienischer Mathematiker und Astronom des 16. Jahrhunderts. Als Professor von Bologna befasste er sich mit der Untersuchung von Kurven, Flächen und Volumina. Auf diese Arbeiten ist sein Cavalierisches Prinzip zurückzuführen. Der Satz macht Aussagen über die Volumina, also die Rauminhalte beliebiger Körper, egal ob mit geraden oder gekrümmten Begrenzungsflächen. Er stellt somit eine hilfreiche Verallgemeinerung vieler anderer Formeln zur Berechnung von Rauminhalten dar. Kernaussage des Satzes von Cavalieri ist die folgende: Werden (geometrische) Körper von den gleichen Grundflächen begrenzt und haben sie in diesen Flächen und in jeder (! ) hierzu parallelen Fläche den gleichen Flächenquerschnitt, dann sind auch ihre Volumina gleich.
In der modernen theoretischen Herangehensweise wird der Bezug zwischen Integral und Flächeninhalt bzw. Volumen jedoch typischerweise anders hergestellt; das Prinzip von Cavalieri ist dabei weniger wichtig. Bezug zur Maßtheorie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Satz von Cavalieri in der oben beschriebenen elementaren Form ist ein Spezialfall des folgenden allgemeineren Satzes, welcher wiederum ein Spezialfall des Satzes von Fubini ist: Sei messbar. Dann sind auch und für fast alle bzw. messbar (über bzw. ) und es gilt bzw., wobei das -dimensionale Lebesgue-Maß (Volumen) bezeichne. Insbesondere gilt: Ist ebenfalls messbar und gilt für fast alle, so ist. Entsprechendes gilt für und. Eine analoge Aussage gilt für beliebige Produktmaße. Anmerkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ Diese Bedingung beinhaltet auch, dass die beiden Körper dieselbe Höhe haben. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] HTML5-App zum Cavalieri-Prinzip von Walter Fendt
Sie sind über Kanten an den Ecken miteinander verbunden. Ganz allgemein gilt für ein Prisma mit einem $n$-Eck als Grundfläche: Die Anzahl der Flächen beträgt $n+2$, die der Ecken $2n$ und die der Kanten $3n$. Ein Würfel ist ein Prisma mit einem Quadrat, also einem $4$-Eck, als Grund- und Deckfläche. Der Würfel hat $2\cdot 4=8$ Ecken, $3\cdot 4=12$ Kanten und $4+2=6$ Flächen. Nun untersuchen wir einmal, wie die jeweiligen Anzahlen zusammenhängen: Beim allgemeinen Prisma gilt: Die Anzahl der Kanten minus der Anzahl der Ecken plus $2$ ist gleich die Anzahl der Flächen, also $3n-2n+2=n+2$. Das Gleiche gilt natürlich auch für den Würfel: $12-8+2=6$, und das ist in der Tat die Anzahl der Flächen. Dies wird im Eulerschen Polyedersatz verallgemeinert: Seien $E$ die Anzahl der Ecken, $F$ die Anzahl der Flächen und $K$ die Anzahl der Kanten eines Polyeders, dann gilt: $E-K+F=2$. Oder: Wie oben bereits beschrieben: $K-E+2=F$. Diese beiden Gleichungen sind äquivalent. Alle Videos zum Thema Videos zum Thema Satz des Cavalieri und Eulerscher Polyedersatz (3 Videos) Alle Arbeitsblätter zum Thema Arbeitsblätter zum Thema Satz des Cavalieri und Eulerscher Polyedersatz (3 Arbeitsblätter)
17. 03. 2005, 16:44 kingbamboo Auf diesen Beitrag antworten » Satz des Cavalieri Wir haben heute mit einem neuen Thema angefangen. Eigentlich ist es verständlich aber ich schafe es einfach nicht mich in die Aufgabe reinzudenken. Hier ist erstmal die Aufgabe: Ich muss die 5b und c bearbeiten. a) ist noch leicht weil man da schon die Höhe gegeben hat aber wiel soll ich bei b) und c) die Höhe ausrechnen? Danke 17. 2005, 16:57 Doppelmuffe RE: Satz des Cavalieri hi, ich nehme mal an, ihr habt trigonometrische funktionen noch nicht gemacht. also bei b): der winkel ist 45°, d. h. h ist genau so groß wie die andere kathete des dreiecks. so kannst du (mit pythagoras) aus s h ausrechnen. c): was weisst du denn über das verhältnis der seiten in einem solchen dreieck? 17. 2005, 18:14 Hallo also wie soll ich das denn mit dem Pythagoras ausrechnen? Ich bin wirklich nicht gut in Mathe? Ich habe doch nur die lange Seite und die Kathete fehlt doch bzw. die Maße sind nicht angegeben! 17. 2005, 18:28 Egal Naja wenn ist und du den rechten Winkel an der Höhe auch schon hast müsstest du eigentlich wissen um welche Art Dreieck es sich handelt das ist also nicht ganz so schwer wie du glaubst.
Das Prinzip des Cavalieri: Mathe erklärt von Lars Jung - YouTube
Mit den Mitteln der elementaren Geometrie bleibt das cavalierische Prinzip, zwar höchst anschaulich, aber nicht beweisbar. Dazu benötigt man die Infitesimalrechnung, d. den Grenzwertbegriff. Allerdings liefern auch hier die Exponate eine gute Veranschaulichung. Wenn man sich beispielsweise bei den Pyramiden die Quadrate immer dünner und dünner vorstellt (siehe Papierblöcke), dann nähern wir uns hinsichtlich des Volumens immer mehr der nicht-stufigen Pyramide. Das cavalierische Prinzip hilft aber nicht nur bei der Volumenberechnung schiefer Körper, sondern auch in vielen anderen Fällen, so auch hier: Um diesen wellenförmig geschwungenen Glaskörper besser zu erkennen, wurde er mit gefärbtem Wasser gefüllt: Entgegen unserer Intuition ist das Volumen dieses Körpers dasselbe wie das Volumen eines Quaders mit demselben Quadrat als Grundfläche und derselben Höhe. Das ergibt sich aus dem Prinzip von Cavalieri, weil alle zur Grundfläche parallelen Schnittflächen immer das gleiche Quadrat der Grundfläche liefern.
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