Bei Spiegelung an der x 1 x 2 -Ebene ändert man die x 3 -Koordinaten, bei Spiegelung an der x 1 x 3 -Ebene ändert man die x 2 -Koordinaten, bei Spiegelung an der x 2 x 3 -Ebene ändert man die x 1 -Koordinaten. Bei Spiegelung am Ursprung ändert man alle Koordinaten. Beispiel a. Spiegeln Sie P(2|3|-2), und E: 4x 1 +7x 2 –3x 3 =8 an der x 1 -Achse. Lösung: Wir ändern einfach das Vorzeichen der x 2 - und der x 3 -Koordinate. ⇒ P neu (2|-3|2) ⇒ ⇒ E: 4x 1 –7x 2 +3x 3 =8 Beispiel b. Spiegelung Punkt an Ebene — MeinMatheAbi.de. Spiegeln Sie A(-1|2|5), und F: x 1 +3x 2 –3x 3 =-8 an der x 1 x 2 -Ebene. Wir ändern das Vorzeichen der x 3 -Koordinate. ⇒ A neu (-1|2|-5) ⇒ ⇒ F neu: x 1 +3x 2 +3x 3 =-8 Beispiel c. Spiegeln Sie D(0|8|15), und E: 2x 1 +6x 2 –3x 3 =1 am Ursprung. L ösung: Wir ändern alle Vorzeichen. ⇒ D neu (0|-8|-15) ⇒ ⇒ E neu: -2x 1 –6x 2 +3x 3 =1 V. 02 | Punkt an Punkt spiegeln Jede Spiegelung wird letztendlich auf Spiegelung von Punkt an Punkt zurückgeführt. Daher ist dieses Kapitel natürlich sehr wichtig. Es gibt auch mehrere Vorgehensmöglichkeiten, daher gibt es Beispiel a. in zwei Varianten.
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Die einfachste Vorgehensweise, einen Punkt an einer Ebene zu spiegeln, ist wie folgt: Hilfsgerade h h aufstellen, die senkrecht zur Ebene E E steht und durch den Punkt P P verläuft. Schnittpunkt S S der Gerade h h mit der Ebene E E bestimmen. Vektor P S → \overrightarrow{PS} berechnen. Vektor P S → \overrightarrow{PS} zu O S → \overrightarrow{OS} addieren, um den gesuchten Punkt P ′ P' zu bekommen. Beispiel Gegeben: E: 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 20 E:2x_1+x_2+2x_3=20 und P = ( 7 ∣ 6 ∣ 9) P=(7|6|9) Hilfsgerade h h bestimmen: Diese soll senkrecht auf der Ebene E E stehen; also ist ihr Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene. n E → = ( 2 1 2) \overrightarrow{{ n}_ E}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix} Außerdem soll sie durch P P gehen; als Aufpunkt kann man P P verwenden, als Stützvektor also O P → \overrightarrow{OP}. Punkt an Punkt spiegeln - lernen mit Serlo!. Schnittpunkt S S von der Geraden h h mit der Ebene E E bestimmen: Dazu wird die Gerade (genauer: der "allgemeine Geradenpunkt") in die Ebenengleichung eingesetzt. 2 ⋅ ( 7 + 2 λ) + ( 6 + λ) + 2 ⋅ ( 9 + 2 λ) = 20 2\cdot\left(7+2\lambda\right)+\left(6+\lambda\right)+2\cdot\left(9+2\lambda\right)=20 14 + 4 λ + 6 + λ + 18 + 4 λ = 20 14+4\lambda+6+\lambda+18+4\lambda=20 38 + 9 λ = 20 38+9\lambda=20 9 λ = − 18 9\lambda=-18 λ = − 2 \lambda=-2 Dieser Wert wird nun in die Geradengleichung eingesetzt, um S S zu erhalten.
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