Statistik Basiswissen Das Ergebnis wird für alle Zahlenlisten immer die Zahl 0 ergeben. Die Berechnung ist aber aus theoretischer Sicht interessant. Sie führt zu einem weiteren Gedanken, der hier ausgeführt ist. Wird das überhaupt berechnet? ◦ Nein, denn... ◦ bis auf Rundungsfehler ist das Ergebnis immer 0. ◦ Die mittlere lineare Abweichung wird eigentlich nie berechnet. ◦ Wo der Begriff verwendet wird, ist wahrscheinlich die mittlere absolute Abweichung gemeint. ◦ Die wird sehr wohl berechnet und bei ihr kommt nicht automatisch 0 heraus. Wie würde man die mittlere lineare Abweichung berechnen? ◦ Gemeinsames arithmetisches Mittel berechnen (Durchschnitt) ◦ Für jede Zahl die Differenz Durchschnitt-Zahl rechnen ◦ Diese Differenzen aufaddieren ◦ Die Summe der Differenzen durch die Anzahl n der Werte teilen ◦ Tatsächlich berechnet man aber die => mittlere absolute Abweichung Wie sähe ein Zahlenbeispiel aus? ◦ Beispielwerte: 0; 1; 4; 2; 3 ◦ Durchschnitt: 10:5 = 2 ◦ 2-0 = 2 ◦ 2-1 = 1 ◦ 2-4 = -2 ◦ 2-2 = 0 ◦ 2-3 = -1 ◦ Summe dieser Differenzen: 0 ◦ Diese Summe geteilt durch Anzahl n=5 wäre 0:5 = 0 ◦ Die mittlere lineare Abweichung der Zahlen ist 0.
Dann ist das Durchschnittsalter ebenfalls 6 Jahre (Berechnung: (2 × 4 + 2 × 8 + 6) / 5 = 30/5 = 6), die mittlere absolute Abweichung ist jedoch: ( 2 × | 4-6 | + | 6-6 | + 2 × | 8-6 |) / 5 = (4 + 0 + 4) / 5 = 8 / 5 = 1, 6. Die mit 1, 6 im Vergleich zu 3, 6 wesentlich niedrigere mittlere absolute Abweichung zeigt an, dass die Daten (Alter) viel näher beieinander liegen und weder nach oben noch nach unten wesentlich vom Mittelwert abweichen. Oben haben wir die mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittelwert berechnet, es gibt aber auch eine mittlere absolute Abweichung vom Median. Der Median ist der mittlere Wert, der die sortierte Reihe in der Mitte teilt. Das ist bei der ersten Familie mit 5 Kindern im Alter von 1, 3, 5, 9 und 12 Jahren der Wert 5 Jahre (das ist die Mitte; zwei (1 und 3 Jahre) liegen darunter, zwei (9 und 12 Jahre) darüber). Die weitere Berechnung ist dann identisch. Die mittlere absolute Abweichung vom Median ist: ( | 1-5 | + | 3-5 | + | 5-5 | + | 9-5 | + | 12-5 |) / 5 = (4 + 2 + 0 + 4 + 7) / 5 = 17 / 5 = 3, 4.
Mittlere absolute Abweichung um den Median Der Median der absoluten Abweichung (MAD Median) ist der Median der absoluten Abweichung vom Median. Es ist ein robuster Schätzer der Streuung. Der MAD-Median bietet ein direktes Maß für die Skala einer Zufallsvariablen um ihren Median Dies ist der Maximum-Likelihood- Schätzer des Skalenparameters der Laplace-Verteilung. Für die Normalverteilung haben wir. Da der Median die durchschnittliche absolute Distanz minimiert, haben wir und. Unter Verwendung der allgemeinen Dispersionsfunktion definierte Habib (2011) MAD über den Median als wo die Indikatorfunktion ist Diese Darstellung ermöglicht das Erhalten von MAD-Median-Korrelationskoeffizienten. Für das Beispiel {2, 2, 3, 4, 14}: 3 ist der Median, also sind die absoluten Abweichungen vom Median {1, 1, 0, 1, 11} (umgeordnet als {0, 1, 1, 1, 11}) mit einem Median von 1, in diesem Fall unbeeinflusst vom Wert des Ausreißers 14, also beträgt die mittlere absolute Abweichung (auch MAD genannt) 1. Maximale absolute Abweichung Die maximale absolute Abweichung um einen beliebigen Punkt ist das Maximum der absoluten Abweichungen einer Probe von diesem Punkt.
Diese Differenz quadriert man und anschließend multipliziert man noch mit der Wahrscheinlichkeit P(X = x i). So verfährt man mit jedem Wert x i und summiert letztlich die einzelnen Ergebnisse auf, um so die Varianz zu erhalten. Die Standardabweichung ist ein Maß für die durchschnittliche Entfernung aller Messwerte vom arithmetischen Mittelwert. Je stärker die Werte um den arithmetischen Mittelwert streuen um so höher ist die Standardabweichung. Die Standardabweichung einer Stichprobe ist umso größer, je kleiner der Stichprobenumfang ist. Der Graph der Dichtefunktion ist umso breiter und verläuft umso flacher, je kleiner die Stichprobe ist. \(\sigma\) ist die übliche Bezeichnung, wenn es sich um die Standardabweichung der Grundgesamtheit handelt. s ist die übliche Bezeichnung, wenn die Standardabweichung aus einer Stichprobe ermittelt wurde. Beispiel: 10 Personen werden gefragt, wie viel sie für einen Sommerurlaub ausgeben. Der Mittelwert der 10 Ausgaben liegt bei 2. 000€, die Standardabweichung liegt bei 200 €.
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