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Tangente durch einen Kurvenpunkt Eine Tangente an eine Kurve $f$ im Kurvenpunkt $P(x_0|f(x_0))$ ist eine Gerade, die $f$ in diesem Punkt berührt. Um an einer vorgegebene Stelle $x_0$ eine Tangente an die Funktion $f$ anzulegen, berechnest Du den Funktionswert $f(x_0)$ und die Ableitung $f'(x_0)$ an dieser Stelle und setzt alles ein in die Tangentengleichung: $$ t: y=f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$ Das ergibt dann nach kurzer Umformung die Geradengleichung der Tangente durch den Kurvenpunkt $(x_0|f(x_0))$. Wendetangenten sind einfach Tangenten durch einen Kurvenpunkt, der gleichzeitig auch noch ein Wendepunkt der Funktion $f$ ist. Beispiel: Tangente durch einen Kurvenpunkt Wir bestimmen die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ an der Stelle $x_0 + 1$. Aufgaben zu der Tangente - lernen mit Serlo!. Der Funktionswert ist dann $f(1) = \frac{1}{2}$ und mit $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$ haben wir noch die Steigung $f'(1) = -\frac{1}{2}$. Also hat die Tangente $t$ im Kurvenpunkt $(1|\frac{1}{2})$ die Gleichung: $$ y = \frac{1}{2}(x - 1) + \frac{1}{2} \textrm{, bzw. } y = - \frac{1}{2}x + 1 $$ Tangente durch einen Punkt außerhalb der Kurve Wir bezeichnen jetzt mit $(x_1|y_1)$ einen Punkt, der nicht auf der Funktion $f$ liegen soll.
231 Aufrufe Aufgabe: Wie lautet die Gleichung der Tangente, die vom Punkt A = (-1;0) aus an den Funktionsgraphen von y = x^(1/2) gelegt wird? Welche Koordinaten hat der Tangentenberührungspunkt P 0? Problem/Ansatz: Wenn der x-Wert, an dem die Tangente angelegt werden soll, ein Wert der Funktion ist, komme ich mit dem Aufgaben-Typ klar. Aber wie gehe ich bei der o. g. Tangente in einem Punkt der Hyperbel | Maths2Mind. Aufgabe vor? f(x)=g(x) x^(1/2) = ax-0 x^(1/2) -ax = 0 ist mein einziger Ansatz. Vielen Dank schon mal! Gefragt 3 Jun 2020 von 2 Antworten Wenn Tangente, dann sind die Steigungen gleich. x^(1/2)/(x+1) = 1/2 x^(-1/2) ⇔ x = 1 Beantwortet Gast Hier eine symbolische Skizze welche dadurch aber allgemeingültig ist P ist der Punkt außerhalb ( px | py)) ( -1 | 0) m = Tangente = f ´( x) = 1 / ( 2*x^(1/2)) Steigungsdreieck delta y / delta x ( f ( x) - py) / ( x- px) = ( x ^(1/2) - 0) / ( x - (-1)) = 1 / ( 2*x^(1/2)) x = 1 m = 1 / ( 2*(1)^(1/2)) = 1/2 y = m* x + b 0 = 1/2 * (-1) + b b = 1/2 t ( x) = 1/2 * x + 1/2 ( 1 | 1) mfg georgborn 120 k 🚀
Tangente von außen oder Tangente von außerhalb liegt vor, wenn der Berührpunkt der Tangente (oder Normale) NICHT gegeben ist. Dafür kennt man einen anderen Punkt, der auf der Tangente liegt. Vorgehensweise: man verwendet die Tangentenformel, setzt die Koordinaten dieses anderen Punktes für x und y ein und erhält nun eine Gleichung mit nur noch einer einzigen Unbekannten ("u"). Nun löst man die Gleichung nach "u" auf (welches der x-Wert des Berührpunktes ist). Nun hat man den Berührpunkt (oder mehrere) und kann ggf. in diesen Punkten wieder die Tangenten aufstellen. Bevor du dieses Video anschaust, solltest du dieses Thema beherrschen: >>> [A. Wie berechnet man die Tangenten an einem kreis von einem punkt außerhalb des kreises? (Mathe, tangente). 15. 02] über Tangentenformel / Normalenformel