Zur Analyse der Steigung an einer beliebigen Stelle, besteht nun der einzige Aufwand darin, den x-Wert in die Ableitungsfunktion einzusetzen. Wenn wir die Steigung an der Stelle x = 5 bei f(x) = x² wissen möchten, rechnen wir: f'(x) = 2·x f'(5) = 2·5 = 10 Die Steigung (der Tangente) an der Stelle x = 5 beträgt also 10.
Bestimme die Ableitungsfunktionen mit Hilfe der h-Methode und ermittle die Ableitungen an den Stellen 1 und 4: Aufgabe Lsung zurück zu den Aufgaben
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In diesem Kapitel schauen wir uns an, was es mit der h-Methode auf sich hat. Einordnung Wir haben bereits den Differentialquotienten kennengelernt, $$ m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$ mit dessen Hilfe wir die Steigung der Tangente im Punkt $\text{P}_0(x_0|y_0)$ berechnen können. Beispiel 1 Gegeben sei die Funktion $f(x) = x^2$. Lösungen? (Mathe, Lösung). Berechne die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0 = 2$ mithilfe des Differentialquotienten. Formel aufschreiben $$ m = \lim_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} $$ Werte einsetzen Für unser Beispiel gilt: $f(x_1) = x_1^2$ $f(x_0) = f(2) = 2^2 = 4$ $x_1$ $x_0 = 2$ Daraus folgt: $$ m = \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2} $$ Term vereinfachen Notwendiges Vorwissen: 3. Binomische Formel $$ \begin{align*} m &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{x_1^2 - 4}{x_1 - 2} &&| \text{ 3. Binomische Formel anwenden} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)(x_1 - 2)}{x_1 - 2} &&| \text{ Kürzen} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} \frac{(x_1 + 2)\cancel{(x_1 - 2)}}{\cancel{x_1 - 2}} \\[5px] &= \lim_{x_1 \to 2} x_1 + 2 \end{align*} $$ Grenzwert berechnen $$ \begin{align*} \phantom{m} &= 2 + 2 \\[5px] &= 4 \end{align*} $$ Die Steigung der Tangente ist $m = 4$.
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Abb. 5 Diagramm Trägt man die \(f\)-\(E_{{\rm{kin}}}\)-Wertepaare in ein Diagramm so ergibt sich eine Gerade deren Steigung die Planck'sche Konstante ist. Nach Einstein gilt \(h \cdot {f_1} = {W_0} + {E_{{\rm{kin}}, 1}}\quad(1)\) und \(h \cdot {f_2} = {W_0} + {E_{{\rm{kin}}, 2}}\quad(2)\). ODU AMC® Serie T - die 3 in 1 Verriegelung für den zuverlässigen Einsatz, ODU GmbH & Co. KG, Pressemitteilung - PresseBox. Dabei ist \({W_0}\) die Ablösearbeit des Kathodenmaterials. Subtrahiert man \((1)\) von \((2)\), so erhält man\[h \cdot {f_2} - h \cdot {f_1} = {W_0} + {E_{{\rm{kin}}, 2}} - \left( {{W_0} + {E_{{\rm{kin}}, 1}}} \right)\]Hieraus ergibt sich\[h \cdot {\left( {{f_2} - f} \right)_1} = {E_{{\rm{kin}}, 2}} - {E_{{\rm{kin}}, 1}}\]bzw. \[h = \frac{{\Delta {E_{{\rm{kin}}}}}}{{\Delta f}}\] Grundwissen zu dieser Aufgabe Atomphysik RÖNTGEN-Strahlung
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