Der Mathematische Monatskalender: Jakob Bernoulli (1655–1705): Vom unendlich Kleinen und dem Zufall Der Sohn eines niederländischen Gewürzhändlers ist einer der vielseitigsten Mathematiker des 17. Jahrhunderts. Er beschäftigt sich eingehend mit Differenzial-, Integral- und Infinitesimalrechnungen. Andrei N. Kolmogorov (1903-1987) - Spektrum der Wissenschaft. Aber auch Wahrscheinlichkeitstheorie und Potenzreihen haben es Jakob Bernoulli angetan. © Simó Gómez Polo: Els Daus, 1874, Gemälde / public domain (Ausschnitt) Als Herzog Alba, der Statthalter des spanischen Königs Philipp II., im Jahr 1567 begann, den Aufstand der protestantischen Niederländer blutig niederzuschlagen, flohen viele aus ihrer Heimat, darunter auch die aus Antwerpen stammende Familie Bernoulli. Schnell konnte der Gewürzhändler eine neue Existenz in Basel aufbauen; Nicolaus Bernoulli (1623 – 1708) wurde als einflussreicher Bürger in den Magistrat der Stadt gewählt. Aus seiner kinderreichen Ehe mit einer Bankierstochter gingen unter anderem die beiden Söhne Jakob (1655 – 1705) und Johann (1667 – 1748) hervor, die als Mathematiker und Physiker berühmt wurden.
Hierbei werden 100 Fahrräder gesichtet. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass genau 33 der gesichteten Fahrräder codiert sind. Bestimme zudem die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 50 Fahrräder codiert sind. Bei der Kontrolle besteht die Möglichkeit, das Fahrrad direkt im Anschluss codieren zu lassen. Bei einer ähnlichen Aktion in der ebenso fahrradbegeisterten Nachbarstadt Velokirchen wurde die Erfahrung gemacht, dass der kontrollierten Fahrradfahrer, die keine Codierung haben, dieses Angebot in Anspruch nehmen. Bernoulli kette mehr als man. Mit wie vielen Neucodierung kann die Polizei im Schnitt bei solch einer Kontrolle rechnen? Lösung zu Aufgabe 3: Anzahl codierter Fahrräder. Sei: Anzahl der nicht-codierten Fahrräder. Zunächst bestimmt man den Erwartungswert von. Dieser beträgt für eine binomialverteilte Zufallsvariable. Also folgt: Weiter weiß man, dass die Hälfte aller nicht-codierten Fahrräder neucodiert werden. Die Anzahl der erwarteten Neucodierungen ist daher: Im Schnitt ist also etwa mit 33 Neucodierungen zu rechnen.
1683 kehrt er wieder nach Basel zurück und übernimmt an der Universität zunächst Vorlesungen in Experimentalphysik, ab 1687 den Lehrstuhl für Mathematik. Dem Vorbild des Bruders folgend, wächst auch Johanns Interesse an Mathematik; vor allem sind es die Schriften von Gottfried Wilhelm Leibniz zur Analysis, in die sich dieser schnell und zunehmend selbstständig einarbeitet. Seine besondere mathematische Begabung wird auch für Außenstehende erkennbar, als er 1690 – etwa zeitgleich mit Christiaan Huygens und Leibniz selbst – ein Problem lösen kann, das sein Bruder Jakob als Herausforderung an die Mathematiker Europas gestellt hatte: Welche Kurve nehmen die Glieder einer (idealen) Kette ein, die an ihren beiden Enden befestigt ist und nur dem Einfluss der Schwerkraft unterliegt? Bernoulli kette mehr als 240 infektionen. Diese sogenannte Kettenlinie lässt sich mithilfe der Funktionsgleichung beschreiben: \(y=\frac{a}{2}\cdot(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}})=a\cdot \text{cosh}\left(\frac{x}{a}\right) \). In der unteren Graphik ist \(a=0{, }5.
Durch welche Kurve müssen zwei auf unterschiedlicher Höhe liegende Punkte miteinander verbunden werden, damit eine reibungsfrei gleitende Masse in kürzester Zeit beim unteren Punkt ankommt? Fünf Mathematiker reichen Lösungen ein: Newton, Leibniz, l'Hôpital, Tschirnhaus und Jakob Bernoulli. Jakob, dessen Lösung zweifelsohne eleganter ist als die seines Bruders, fordert nun Johann mit einem Problem heraus: Welche Form muss eine geschlossene Kurve mit gegebener Länge haben, damit diese Kurve die größtmögliche Fläche einschließt? (isoperimetrisches Problem) Als Jakob öffentlich darauf hinweist, dass Johanns Lösung fehlerhaft ist, trägt dies nicht gerade zur Verbesserung des Verhältnisses zwischen den Brüdern bei. Ausgerechnet l'Hôpital ist es, der 1696 als Erster ein Buch zur Leibniz'schen Analysis veröffentlicht ( Analyse des infiniment petits). Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung. Dies ärgert Johann sehr – vor allem, als er feststellt, dass l'Hôpital im Prinzip seine "Lektionen" veröffentlicht hat. Aber da er vertraglich zur Verschwiegenheit verpflichtet ist, wagt er sich erst nach dessen Tod im Jahr 1704, hierauf hinzuweisen.
Er kümmert sich persönlich um sie; auf den regelmäßig durchgeführten, gemeinsamen Wanderungen wird vor allem über Mathematik diskutiert. Kolmogorov verfasst auch Schulbücher und fördert mathematisch begabte Schüler. Bernoulli kette mehr als je. Mit dem 1933 in deutscher Sprache erscheinenden Werk »Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung« beeinflusst Kolmogorov in erheblichem Maße die weitere Entwicklung der Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung. David Hilbert (1862–1943) hatte im Jahr 1900 auf dem 2. Internationalen Mathematikerkongress in München die – seiner Meinung nach – 23 wichtigsten mathematischen Probleme benannt, die einer Lösung bedürften. Als sechstes Problem stellte er die Frage, wie Mechanik und Wahrscheinlichkeitstheorie (die damals wegen der Anwendungsprobleme eher zur Physik gerechnet wurde) axiomatisiert werden könnten. Bei einem axiomatischen Aufbau geht man von grundlegenden Axiomen aus, von denen dann weitere Gesetze abgeleitet werden können – ähnlich, wie dies Euklid in der Geometrie geleistet hatte.
1690 gelingt es ihm, ein von Leibniz aufgeworfenes geometrisches Problem mithilfe der Differenzialrechnung zu lösen: Längs welcher Kurve bewegt sich ein Körper, der mit gleichmäßiger Geschwindigkeit fällt (so genannte Isochrone)? ▷ Rechnungswesen verstehen - für Schüler, Studenten & Weiterbildung. In der Abhandlung spricht er als Erster vom calculus integralis; den Begriff des »Integrals« übernimmt Leibniz dann in seine Schriften. Aus physikalischen Bedingungen ergeben sich manchmal sogenannte Differenzialgleichungen, die sich mithilfe der Methode der Trennung der Variablen (eine Idee von Jakob Bernoulli) lösen lassen. Beispielsweise führt die Beziehung \(y'=\frac{x}{y}\) zwischen den Variablen \(x, y\) und deren Ableitung \(y'\) nach Umformung und Integration zu \(yy' =x\) und \(\int y\ dy=\int x\ dx\) also \(\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C, \) das heißt \(y^2–x^2=2C. \) Durch diese Gleichung lassen sich Hyperbeln beschreiben – in der unteren Abbildung ist das zugehörige Richtungsfeld der Differentialgleichung (eine Idee von Johann Bernoulli) zu sehen: In den Punkten des Koordinatensystems werden Tangenten, deren Steigung man aus der Differentialgleichung berechnen kann, andeutungsweise gezeichnet.
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