Wichtige Inhalte in diesem Video Du suchst nach einem einfachen Rechenweg für den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene? In diesem Artikel erklären wir dir, wie du ihn mit Hilfe der Formel oder des Lotfußpunktverfahrens bestimmen kannst und zeigen dir die Rechenschritte an einer Beispielaufgabe. Für alle audiovisuellen Lerntypen haben wir zudem ein Erklärvideo zum Abstand Punkt Ebene erstellt. Abstand Punkt Ebene einfach erklärt im Video zur Stelle im Video springen (00:10) Wenn du den Abstand eines Punktes zu einer Ebene bestimmen sollst, dann ist damit in der Regel die kürzeste Verbindung zwischen den beiden gemeint. Du erhältst sie, indem du eine Linie vom Punkt aus ziehst, die senkrecht auf der Ebene steht. Diese Linie bezeichnet man auch als das, durch den Punkt gefällte, Lot. Die Länge der Strecke vom Punkt zum Schnittpunkt des Lotes und der Ebene ist dann genau der Abstand zwischen Punkt und Gerade. Ist ein dreidimensionaler Raum gegeben, kannst du den Abstand ganz leicht mit der Abstandsformel bestimmen.
Hierfür wird allgemein folgendermaßen vorgegangen: Der Betrag eines Vektors stellt dessen Länge dar. Er kann mit folgender Formel berechnet werden: Unser Lernvideo zu: Abstand von Punkt zu Gerade Beispiel Es soll der Abstand zwischen der folgenden Geraden g sowie des Punktes Q bestimmt werden. Lösung Zunächst identifizieren wir alle nötigen Vektoren für unsere Formel. Der Übersicht halber berechnen wir Zähler und Nenner der Formel lieber getrennt und beginnen mit dem Zähler. Zähler Zunächst lösen wir die Klammer auf. indem wir einfach die entsprechenden x -, y – und z -Werte der Vektoren voneinander abziehen. Anschließend lösen wir das Skalarprodukt nach der Regel, die wir im Hinweis weiter oben gelernt haben. Nun liegt uns ein Vektor vor, dessen Betrag wir bestimmen können. Wir verfahren nach der zweiten Formel aus dem Hinweis und erhalten: Lösen wir die Wurzel, erhalten wir den Wert für den Zähler unserer Formel. Nenner Im nächsten Schritt berechnen wir den Zähler, wofür lediglich ein Schritt notwendig ist.
Das Kreuzprodukt der Vektoren beider Geraden gibt uns diesen Vektor. Wir normieren diesen Vektor. Nun brauchen wir noch einen beliebigen Vektor zwischen einem Punkt auf der ersten und einem auf der zweiten Geraden. Das Skalarprodukt beider Vektoren gibt den Abstand. Abstand zwischen zwei Ebenen Beide Ebenen müssen parallel zueinander sein. Wir wählen einen beliebigen Punkt auf einer Ebene und lösen das bekannte Punkt-Ebene Abstandsproblem.
Möchtet ihr den Abstand eines Punktes zu einer Ebene berechnen, auch Lotfußpunktverfahren genannt, geht ihr so vor: Ihr formt, falls noch nicht der Fall, die Ebenengleichung in die Koordinatenform um.
Abstände allgemein Auf dieser Seite des Landesbildungsservers Baden-Württemberg wird sehr anschaulich demonstriert, wie man mit Mitteln der analytischen Geometrie Bewegungsaufgaben lösen kann. In diesem Lernvideo von Flip the Classroom werden alle Abstandsprobleme auf vier Grundprobleme reduziert. Aufgaben unterstützen die neu gelernten Zusammenhänge. Auf diesem Aufgabenblatt von werden viele Aufgaben zur Abstandsbestimmung in allen möglichen Fällen gestellt. Die einblendbaren Lösungen sind sehr ausführlich gestaltet.
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