Die besondere Eigenschaft der Primzahlen, dass sie nicht in Produkte mit kleineren Faktoren zerlegt werden können, sorgt dafür, dass am Ende ein Produkt mit ausschließlich Primzahlen entsteht. Diese Zerlegung einer Zahl in ein Produkt aus Primzahlen wird Primfaktorzerlegung genannt. Warum ist 1 keine Primzahl? Die Multiplikation einer Zahl mit 1 verändert diese Zahl nicht. Wenn du 1 als Primzahl zulassen würdest, so könntest du eine Zahl immer weiter dadurch "zerlegen", dass du 1 als Faktor anhängst. Nimm die Zahl 12. Wäre 1 eine Primzahl, so könntest du folgende unendliche "Primfaktorzerlegung" durchführen: Damit dies nicht geschieht, wird die 1 nicht zu den Primzahl gerechnet. Dadurch wird die Primfaktorzerlegung auch eindeutig. Jede Primfaktorzerlegung einer Zahl ergibt immer dasselbe Ergebnis (wenn du die Reihenfolge der Faktoren außer Acht lässt). Die Primzahlen bis 99 Folgende Zahlen bis 99 sind Primzahlen: Überprüfen, ob eine Zahl eine Primzahl ist Wenn du überprüfen möchtest, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl ist, so besteht die einfachste Methode darin, zu versuchen, die Zahl der Reihe nach durch alle Primzahlen zu teilen, die sogenannte Probedivision.
Somit ist die untersuchte Zahl keine Primzahl. Schritt 1: √167 = 12, 923 Schritt 2: Primzahlen bis zum Ergebnis aus Schritt 1: 2, 3, 5, 7, 11 Schritt 3: 167: 2 = 83, 5 167: 3 = 55, 67 167: 5 = 33, 4 167: 7 = 23, 86 167: 11 = 15, 18 Schritt 4: Alle Ergebnisse verfügen über einen Rest. Somit ist die untersuchte Zahl eine Primzahl. Schritt 1: √307 = 17, 52 Schritt 2: Primzahlen bis zum Ergebnis aus Schritt 1: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 Schritt 3: 307: 2 = 153, 5 307: 3 = 102, 33 307: 5 = 61, 4 307: 7 = 43, 86 307: 11 = 27, 91 307: 13 = 23, 62 307: 17 = 18, 06 Schritt 1: √350 = 18, 71 Schritt 3: 350: 2 = 175 350: 3 = 116, 67 350: 5 = 70 350: 7 = 50 350: 11 = 31, 82 350: 13 = 26, 92 350: 17 = 20, 59 Was ist eine Primfaktorzerlegung? Mit der Primfaktorzerlegung wird eine Zahl in kleinere Primzahlen zerlegt. Diese sollen multipliziert dann am Ende die Zahl ergeben, die man zuvor zerlegt hat. Man beginnt bei der Zerlegung immer mit der kleinsten Primzahl, also der 2. Falls die Zahl nicht durch 2 teilbar ist, versucht man es mit der nächstgrößeren Primzahl usw. Primzahlen, die miteinander multipliziert werden, nennt man "Primfaktoren".
Nun findest Du wieder zwei Beispiele, womit Du die Primfaktorzerlegung wieder mithilfe eines Klicks auf das jeweilige Plus besser nachvollziehen kannst: 32 = 2 x 16 32 = 2 x 2 x 8 32 = 2 x 2 x 2 x 4 32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 84 = 2 x 42 84 = 2 x 2 x 21 84 = 2 x 2 x 3 x 7 Primzahlen bis 100 – Übungen Falls Du das Thema jetzt verstanden hast und Deine erlernten Kenntnisse vertiefen möchtest, kannst Du hier anhand dieser Übungen Dein erlerntes Wissen auf die Probe stellen. Mithilfe der Lösungen kannst Du Deine Ergebnisse durch einen Klick auf das jeweilige Plus überprüfen. 1) Liste alle Primzahlen bis 100 auf! Die Primzahlen von 0 bis 100 in aufsteigender Reihenfolge sind: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. 2) Ermittle, ob es sich bei den Zahlen a) 113 und b) 177 um Primzahlen handelt! a) Schritt 1: √113 = 10, 63 Schritt 2: Primzahlen bis zu dem Ergebnis aus Schritt 1: 2, 3, 5, 7 Schritt 3: 113: 2 = 56, 5 113: 3 = 37, 67 113: 5 = 22, 6 113: 7 = 16, 14 b) Schritt 1: √177 = 13, 3 Schritt 2: Primzahlen bis zu dem Ergebnis aus Schritt 1: 2, 3, 5, 7, 11, 13 Schritt 3: 177: 2 = 88, 5 177: 3 = 59 177: 5 = 35, 4 177: 7 = 25, 286 177: 11 = 16, 09 177: 13 = 13, 615 Schritt 4: Nicht alle Ergebnisse verfügen über einen Rest.
Primzahlen bis 100 – bereits in der Antike beschäftigten sich Mathematiker interessiert mit diesem umfassenden Thema. Jedem von uns ist der Begriff " Primzahlen " bestimmt schon mal über den Weg gekommen. Doch was verbirgt sich hinter dem Thema " Primzahlen "? Das erfährst Du hier nun ganz einfach und flott. Im Folgenden zeigen wir Dir, … … was überhaupt eine Primzahl ist, … welche Zahl die höchste und welche die niedrigste Primzahl ist, … welche Zahlen bis 100 Primzahlen sind, … wie man herausfinden kann, was eine Primzahl ist … und schließlich was es mit der Primfaktorzerlegung auf sich hat. Was ist eine Primzahl? – einfach erklärt Primzahlen sind nur durch 1 und durch sich selbst teilbar! Mit einer " Primzahl " ist eine Zahl gemeint, die zwei verschiedene Bedingungen erfüllen muss: Diese Zahl darf nämlich nur durch 1 (ohne Rest) und durch sich selbst geteilt werden. Das heißt, dass eine Primzahl stets genau zwei Teiler hat. Zudem sind Primzahlen natürliche Zahlen, also Zahlen, die beim Zählen gebraucht werden.
Primzahlen sind natürliche Zahlen größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Es sind also genau diejenigen natürlichen Zahlen, die genau zwei Teiler besitzen. So ist 5 5 eine Primzahl, weil sie größer als 1 ist und neben sich selbst und 1 1 keine weiteren Teiler besitzt. Die Zahl 6 6 ist dagegen zusammengesetzt, also keine Primzahl, weil sie nicht nur 1 1 und 6 6, sondern auch 2 2 und 3 3 als Teiler besitzt. Primzahlen werden in der Praxis bei der Verschlüsselung von Daten gebraucht. Primzahlzerlegung Zusammengesetzte Zahlen, also Nicht-Primzahlen größer als 1 können in ein Produkt von kleineren Faktoren zerlegt werden. Zum Beispiel ist 48 keine Primzahl, weil sie neben 1 und 48 auch den Teiler 2 besitzt. Damit kannst du schreiben: ie Zahl 2 2 ist eine Primzahl und kann damit nicht weiter zerlegt werden. Demgegenüber ist 24 keine Primzahl und kann weiter zerlegt werden. So ist 4 ein Teiler von 24. Also kann 24 weiter zerlegt werden: Solange Nicht-Primzahlen im Produkt enthalten sind, kannst du es weiter zerlegen, bis nur noch Primzahlen im Produkt enthalten sind: Wenn du eine natürliche Zahl größer als 1 immer weiter in Produkte zerlegst, so erhältst du irgendwann ein Produkt, das nur Primzahlen enthält.
Der größte derzeit bekannte Primzahlzwilling ist 242206083*2 38880 Der bekannteste Primzahlforscher der gegenwart ist sicherlich der Amerikaner Caldwell, der sich intensiv um Primzahlen der Form n! -/+1 kümmerte. Er war es auch, der 1993 die bisher größte Primzahl dieser Form fand, nämlich 3610! -1. Obwohl in letzter Zeit kaum neue Erkenntnisse über Primzahlen gewonnen wurden, stehen die Mathematiker heute vor ungefähr 100 ungelösten Problemen die direkt oder indirekt mit Primzahlen zu tun haben. Das berühmteste dieser Probleme, an dem sich schon viele namhafte Mathematiker versucht haben, ist die Frage, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. So bleibt auch in Zukunft viel Raum für Erforschungen auf dem Gebiet der Primzahlen. Quelle n: und Biographien bedeutender Mathematiker ® All rights reserved Amber Kerkhoff, Kai Krycki, Janina Stuckenholz 1998 © DBG Wiehl, den 16. 11. 98
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