In der Mathematik ist ein Hasse-Diagramm (auch Ordnungs- oder einfach Liniendiagramm genannt) eine bestimmte graphische Darstellung endlicher halbgeordneter Mengen. Solche Diagramme werden nach dem Mathematiker Helmut Hasse benannt. Das Hasse-Diagramm für eine Halbordnung ergibt sich als Darstellung eines gerichteten Graphen, wobei die Elemente von die Knoten bilden. Zwei Knoten und werden durch eine Kante verbunden, wenn gilt und es keinen Knoten gibt mit (Hierbei ist als zu verstehen. ) Die Einschränkung auf solche > nennt man transitive Reduktion der Halbordnung. Hasse diagramm erstellen o. Die Richtung der Kante wird dadurch zum Ausdruck gebracht, dass sich der Knoten oberhalb von befindet. Solch eine Anordnung lässt sich erreichen, da das Hasse-Diagramm zyklenfrei ist. Schleifen bei Reflexivität werden weggelassen. Manchmal werden Hasse-Diagramme auch verwendet, um Striktordnungen (Ordnungsrelationen zweiter Art) darzustellen. Beispiele Teilerverband Die Teiler einer natürlichen Zahl lassen sich mittels eines Hasse-Diagramms darstellen, da sie bezüglich der Teilbarkeitsrelation eine halbgeordnete Menge, den Teilerverband, bilden.
Sie kann man folgendermaßen eliminieren: Zuerst ordnet man die Elemente von A so in der Ebene an, daß aus a b (a b) immer folgt, daß die y-Koordinate des Bildes von a kleiner als die y-Koordinate des Bildes von b ist (Wie? ). Damit sind alle gerichteten Kanten von unten nach oben orientiert, weshalb die Pfeile durch Linien ersetzt werden können. Weiterhin ersetzen wir eine Kante von a nach b wenn es ein c a, b gibt mit a c b (also ein c "zwischen" a und b), denn dann ergibt sich die Beziehung a b transitiv aus a c b. (Mit anderen Worten: Wir zeichnen eine Kante von x nach y nur dann wenn y oberer Nachbar von x ist. ) Das so entstehende Bild wird Hasse-Diagramm der endlichen geordneten Menge genannt. Hier ist ein Beispiel (wobei im Digraphen links alle Schlingen vergessen wurden und dazugedacht werden sollten): Kartesische Produkte Das kartesische Produkt von geordneten Mengen (X i, i) hat i I X i als Grundmenge. Kostenloser Online Diagrammeditor. Es gilt (x i) (y i) falls für alle Indizes i gilt x i i y i.
Außerdem stellen einige wir Fixpunktsätze vor. Definition: Eine reflexive, antisymmetrische und transitive binäre Relation auf einer Menge M wird Ordnungsrelation genannt. Die Menge, zusammen mit der Relation heißt dann eine geordnete Menge. Die Bezeichnungsweise ist hier sehr uneinheitlich. Oft werden geordnete Mengen auch "Halbordnungen" bzw. "Partialordnungen" genannt. Als Relationszeichen bei geordneten Mengen verwendet man meist " ". Statt "(a, b) " schreibt man "a b". Zwei Elemente a b sind vergleichbar falls a b oder b a, und andernfalls unvergleichbar. Eine Kette ist eine Menge paarweise vergleichbarer Elemente, eine Antikette eine Menge paarweise unvergleichbarer Elemente. Sei (M, ) eine geordnete Menge und A M. Ein Element x M mit " a A: a x heisst obere Schranke von A (in (M, )). Genauso ist eine untere Schranke ein y M mit " a A: y a. Gibt es ein x A (! ) mit " a A: a x, so heißt x das (! Hasse diagramm erstellen de. ) grösste Element von A. Genauso ist das kleinste Element von A (falls existent) definiert.
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