So ist z. B. auch dein letztgenanntes Beispiel nach Umstellung trennbar, du kannst es also alternativ auch mit Trennung der Variablen lösen - aber du "musst" es nicht. 19. 2014, 02:10 Danke für deine Antwort! Verbesser mich wenn das nun falsch ist: Das bedeutet ich kann jede Aufgabe die für Trennung der Variablen vorgesehen ist auch mit der Homogenen und speziellen Lösung lösen? 19. 2014, 02:23 DrMath Ja, das ist letztgenannte ist ein allgemeines Verfahren, das im Prinzip immer funktioniert. Zumindest, wenn sich die beiden Lösungen (homogen und inhomogen, z. mit Variation der Konstanten) problemlos ausrechnen lassen. Im Prinzip läuft es also unabhängig vom Lösungsverfahren immer darauf hinaus, ob man die auftretenden Integrale berechnen kann. 19. 2014, 02:24 Und vor allem - in der Klausur auch nicht uninteressant - wie schnell! 20. 2014, 00:00 Das bedeutet ich kann jede Aufgabe die für Trennung der Variablen vorgesehen ist auch mit der Homogenen und speziellen Lösung lösen? Das eine hat mit dem anderen wenig zu tun: Das mit der "homogenen und speziellen Lösung" ist ein Lösungsverfahren, das nur für lineare Differentialgleichungen geeignet ist, d. h. für solche erster Ordnung.
Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht Separierbare DGL 1. Ordnung Form: Lösung mithilfe Trennung der Variablen: Durch Substitution lösbare DGL Form: mit Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen: Substituiere:, somit ist Dann ist Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von. Die Rücksubstitution liefert dir dann Lineare DGLs Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus 1. der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen DGL 2. der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen: Homogene lineare DGL 1. Ordnung Form: Die allgemeine Lösung lautet:, wobei und. Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Form: Lösung durch Variation der Konstanten:, wobei und Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Form:, wobei Allgemeine Lösung der homogenen DGL: Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: Wenn von der Form: Ansatz: Wenn von der Form: und Ansatz: Die allgemeine Lösung ist dann:
Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch. Differentiale als anschauliche Rechenhilfe [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Anschaulich besagt der Satz von der Trennung der Veränderlichen, dass das folgende Vorgehen erlaubt ist, d. h. zu richtigen Ergebnissen führt (obwohl die Differentiale und eigentlich nur Symbole sind, mit denen man streng genommen nicht rechnen kann): Schreibe die Ableitung konsequent als. Bringe alle Terme, in denen ein vorkommt – einschließlich des – auf die rechte, und alle anderen – einschließlich des – auf die linke Seite, unter Anwendung gewöhnlicher Bruchrechnung. Es sollte dann links im Zähler ein und rechts im Zähler ein stehen. Setze einfach vor beide Seiten ein Integralsymbol und integriere. Löse die Gleichung gegebenenfalls nach auf. Ermittle die Integrationskonstante mithilfe der Anfangsbedingung. Die Rechnung für das obige Beispiel würde dann auf folgende Weise ablaufen: mit, also. Computerprogramm [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Die CAS - Software Xcas kann Trennung der Veränderlichen mit diesem Befehl [5] machen: split((x+1)*(y-2), [x, y]) = [x+1, y-2] Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen.
0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$ mit $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $ 1. Bestimmung der Nullstellen von g(y): $ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $ Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] Lösungen. Trennung der Veränderlichen: Die Trennung der Veränderlichen erfolgt durch: $\frac{dy}{gy} = f(x) \; dx$ Einsetzen von $g(y) = y(y - 1)$ und $f(x) = -2x$ ergibt: $\frac{dy}{y(y - 1)} = -2x \; dx $ 3. Integralschreibweise Beide Seiten der obigen Gleichung werden mit einen Integral versehen $\int \frac{dy}{y(y-1)} = \int -2x \ dx $ Umstellen: $\int \frac{1}{y(y-1)} \; dy = \int -2x \ dx $ 2. Auflösen der Integrale $\int \frac{dy}{y(y-1)} = ln|\frac{y-1}{y}|$ 3. Vereinfachen $ ln |\frac{y-1}{y}| = - x^2 + k $ [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten! ] $ |\frac{y-1}{y}| = e^{-x^2 + k} =e^k e^{-x^2} $ $ \frac{y-1}{y} = c \cdot e^{-x^2}$, [ $c$ wird anstelle der Konstanten $e^k$ verwendet mit $ c \not= 0$] 4.
Partielle DGL Beispiel: eindimensionale Transportgleichung Zu guter Letzt noch ein Beispiel: die eindimensionale Transportgleichung Partielle Differentialgleichung Beispiel Diese Gleichung beschreibt den Transport eines Stoffes mit Konzentration c(x, t) in einer inkompressiblen Flüssigkeit mit Strömungsgeschwindigkeit v(x, t). x gibt den Ort und t die Zeit an. Du hast partielle Differentialgleichungen kennengelernt und das Beispiel der Transportgleichung gesehen.
Hierzu eignet sich die Leibniz-Notation der DGL am besten: Form einer homogenen lineare DGL in Leibniz-Notation Anker zu dieser Formel Bringe \(K(x)\, y\) auf die rechte Seite: Homogenen lineare DGL umgeformt Anker zu dieser Formel Multipliziere die Gleichung mit \( \text{d}x \) und dann teile die Gleichung durch \(y\). Auf diese Weise hast du auf der linken Seite nur \(y\)-Abhängigkeit stehen und auf der rechten Seiten nur die \(x\)-Abhängigkeit: Trenne die Variablen y und x in der DGL Anker zu dieser Formel Jetzt kannst du auf der linken Seite über \(y\) integrieren und auf der rechten Seite über \(x\): Auf beiden Seiten der DGL Integration anwenden Anker zu dieser Formel Die Integration von \( 1 / y \) ergibt den natürlichen Logarithmus von \(y\). Das musst du am besten auswendig wissen, weil du so einem Integral oft begegnen wirst. Vergiss auch nicht die Integrationskonstante! Nennen wir sie zum Beispiel \(A\): Integral auf der linken Seite der DGL berechnen Anker zu dieser Formel Jetzt musst du nur noch nach der gesuchten Funktion \(y\) umstellen.
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