Unabhängig davon fanden mehrere Mathematiker weitere Beweise, etwa Runge (1885), Picard (1891), Volterra (1897), Lebesgue (1898), Mittag-Leffler (1900), Fejér (1900), Lerch (1903), Landau (1908), de La Vallée Poussin (1912) und Bernstein (1912). [1] Verallgemeinerungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Zum Approximationssatz von Stone-Weierstraß wurden mehrere Verallgemeinerungen gefunden, so etwa der Satz von Bishop. Mit beiden Sätzen eng verbunden ist das Lemma von Machado, mit dessen Hilfe eine verallgemeinerte Fassung des Approximationssatzes von Stone-Weierstraß hergeleitet werden kann, welche diesen auf beliebige Hausdorffräume und die dazu gehörigen Funktionenalgebren der im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktionen ausdehnt. [2] Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Aula-Verlag 1972. 7. Satz von Casorati-Weierstraß – Wikiversity. Auflage. 1989, ISBN 3-89104-455-0, S. 132–134 Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
bezeichne den Ring der Keime holomorpher Funktionen um, das heißt die Menge aller in einer offenen Umgebung von definierten holomorphen Funktionen, wobei zwei solche Funktionen identifiziert werden, wenn sie auf einer gemeinsamen offenen Umgebung von übereinstimmen. Da nicht-leeres Inneres hat, ist jedes wegen des Identitätsatzes schon durch seine Werte auf bestimmt, das heißt man hat es mit echten Funktionen zu tun, und definiert eine Norm auf. Um dieselbe Beweisidee wie oben verwenden zu können, muss der erste Teil dieser Beweisidee in die Voraussetzungen des Satzes aufgenommen werden. Das erklärt die nachfolgende Formulierung: [7] Es sei ein kompakter Polykreis,. Sei weiter derart, dass der Funktionskeim von in 0 ein Weierstraß-Polynom vom Grad bzgl. ist und für jedes sämtliche Lösungen von die Bedingung erfüllen. Satz von weierstraß paris. Dann gibt es eine Konstante, so dass Folgendes gilt: Jedes hat eine eindeutige Darstellung mit, und,, Wie bereits erwähnt, funktioniert die oben vorgestellte Beweisidee. Zusätzliche Arbeit entsteht für die Ermittlung der nur von und abhängigen Konstanten.
(2) Die Funktion g:] 0, 1 [ →] 0, 1 [ mit f (x) = x hat den beschränkten Wertebereich] 0, 1 [, der kein Minimum und kein Maximum besitzt. Das Supremum des Wertebereichs ist 1, aber der Wert 1 wird nicht angenommen. Der Zwischenwertsatz und der Extremwertsatz lassen sich sehr ansprechend zu einem einzigen Satz zusammenfassen: Satz (Wertebereich stetiger Funktionen) Sei f: [ a, b] → ℝ stetig. Dann gibt es c ≤ d in ℝ mit Bild(f) = [ c, d]. Der Zwischenwertsatz sorgt dafür, dass das Bild von f ein Intervall ist, und der Extremwertsatz garantiert, dass die Randpunkte des Bildes angenommen werden und also das Bildintervall abgeschlossen ist. Beschränkte abgeschlossene Intervalle nannten wir auch kompakt (vgl. Satz vom Minimum und Maximum – Wikipedia. 2. 9). Damit kann man den Satz sehr griffig formulieren: Stetige Funktionen bilden kompakte Intervalle auf kompakte Intervalle ab. Allgemein gilt, dass stetige Funktionen Intervalle auf Intervalle abbilden. Das stetige Bild eines offenen Intervalls kann nun aber offen, abgeschlossen oder halboffen sein, wie die folgenden Beispiele zeigen.
Supremum und Infimum müssen nicht zur Folge gehören, daher ist nicht jedes Supremum ein Maximum und es ist nicht jedes Infimum ein Minimum. Beispiel: \(\left[ {0, 1} \right]\) Infimum=0 Minimum=0 Maximum=1 Supremum=1 \(\left] {0, 1} \right[\) kein Minimum, weil \({\text{0}} \notin \left] {0, 1} \right[\) kein Maximum, weil \(1 \notin \left] {0, 1} \right[\) Beschränkte und unbeschränkte Folgen Beschränkte Folge Eine Zahlenfolge heißt beschränkt, wenn sie sowohl eine obere als auch eine untere Schranke besitzt. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Eine beschränkte Folge muss nicht unbedingt konvergieren. Eine konvergierende Folge ist beschränkt. obere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach oben beschränkt, wenn eine Zahl O existiert, sodass jedes Glied der Folge kleiner oder gleich O ist. Satz von Lindemann-Weierstraß – Wikipedia. untere Schranke: Eine Zahlenfolge heißt nach unten beschränkt, wenn eine Zahl U existiert, sodass jedes Glied der Folge größer oder gleich U ist. \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \leqslant M\) nach oben beschränkte Folge \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:{a_n} \geqslant m\) nach unten beschränkte Folge \(\forall n \in {{\Bbb N}^*}:m \leqslant {a_n} \geqslant M\) beschränkte Folge Unbeschränkte Folge Eine Zahlenfolge heißt nach oben und nach unten unbeschränkt, wenn sie \( - \infty \) und \( + \infty \) als Häufungswert hat.
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