Hinweis: Beginnt bei der Achsensymmetrie mit dem höchsten Exponenten. Dafür setzt ihr a=1. Die anderen Parameter sollten zunächst 0 sein. Ändert dann die anderen Parameter, überprüft den Einfluss auf den Graphen und formuliert eine Regel für die Achsensymmetrie. Versuche in gleicher Weise eine Regel für die Punktsymmetrie zu finden. Punkt und achsensymmetrie deutsch. Ein ganzrationales Polynom n-ten Grades genügt der Form f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x 1 + a 0 x 0 Wenn im Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen von x mit geradem Exponenten auftreten, dann sprechen wir von einer geraden Funktion. Gerade Funktionen sind achsensymmetrisch zur y-Achse. Wenn im Funktionsterm einer ganzrationalen Funktion nur Potenzen von x mit ungeradem Exponenten auftreten, dann sprechen wir von einer ungeraden Funktion. Ungerade Funktionen sind punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Achsen – und Punktsymmetrie für andere Funktionstypen Bewegung / Kongruenzabbildungen: Jede Verschiebung, jeder Drehung und jede Spiegelung, sowie eine beliebige Kombination aus diesen Abbildungen in der Ebene nennt man Bewegung.
– (x 5 +2x 3 -x) = -f(x) Also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Das siehst du auch am Graphen: Natürlich gibt es auch hier einen Trick, mit dem nicht mehr rechnen musst: Tipp: Ungerade Exponenten Ganzrationalen Funktionen der Form a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 0 sind genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sie nur ungerade Hochzahlen haben! 3x 3 +2x ist punktsymmetrisch zum Ursprung, da x 3 und x 1 ungerade Hochzahlen haben. 3x 3 +2x 2 +x ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung, da x 2 eine gerade Hochzahl hat. Symmetrie Funktionen Aufgaben Aufgabe 1: Prüfe diese ganzrationale Funktion auf ihr Symmetrieverhalten: x 6 +x 2 -16 Lösung Aufgabe 1: Achsensymmetrie zur y-Achse prüfst du mit: f(-x) = f(x) f(-x) aufstellen: f(-x) = (-x) 6 +(-x) 2 -16 Vereinfachen: (-x) 6 +(-x) 2 -16 = x 6 +x 2 -16 Prüfen, ob es f(x) ist. Hier ist das der Fall! x 6 +x 2 -16= f(x) Die Funktion ist also achsensymmetrisch zur y-Achse! Symmetrie von Funktionen, Punktsymmetrie, Achsensymmetrie | Mathe-Seite.de. Tipp: Bei der Symmetrie von Funktionen dieser Form kannst du auch nur schauen, ob du ausschließlich gerade Hochzahlen hast.
Nehmen wir mal an, eine Funktion f(x) soll symmetrisch zum Punkt P(1|2) sein. Wenn man diese Funktion um 1 nach links verschiebt und dann um 2 nach unten, müsste die neue, verschobene Funktion [ich habe sie f*(x) genannt und gestrichelt dargestellt] symmetrisch zum Ursprung sein. [Diese Symmetrie zum Ursprung könnte man dann über f(-x)=-f(x) beweisen]. Beispiel h. f(x) = x³–6x²+9x–5 Zeigen Sie: f(x) ist zum Punkt S(2|-3) symmetrisch! Lösung: Wir zeigen das so: Zuerst verschieben wir f(x) um 2 nach links, dann um 3 nach oben. Jetzt müsste der Symmetriepunkt im Ursprung liegen. f*(x) = f(x+2) + 3 = = (x+2)³ – 6(x+2)² + 9(x+2) – 5 + 3 =... Punkt und achsensymmetrie übungen. = =(x³+6x²+12x+8)–6·(x²+4x+4)+9x+18–5+3 = = x³+6x²+12x+8–6x²–24x–24+9x+18–5+3 = = x³ – 3x Man verschiebt eine Funktion um 2 nach links, indem man jedes "x" der Funktion f(x) durch "(x+2)" ersetzt. Man verschiebt eine Funktion um 3 nach oben, indem man hinter die Funktion noch ein "+3" dran hängt. (siehe auch [A. 23. 01] Verschieben von Funktionen) Die erhaltene Funktion f*(x)=x³–3x ist symmetrisch zum Ursprung, da sie nur ungerade Hochzahlen enthält.
(= Beispiel einer Symmetrie zum Ursprung) [A. 03] Symmetrie über Formeln Ist eine Funktion symmetrisch zu irgendeinem Punkt mit den Koordinaten S(a|b), so gilt die Formel: f(a–x)+f(a+x) = 2·b Ist eine Funktion symmetrisch zu irgendeiner senkrechten Gerade mit der Gleichung x=a, so gilt: f(a–x) = f(a+x) [Man setzt a, b und die Funktion f(x) in die Formel ein, löst alle Klammern etc.. auf und erhält zum Schluss eine wahre Aussage. Die Rechnungen sind oft aufwändig. ] [A. Symmetrieverhalten. 04] Symmetrie über Verschieben Wenn eine Funktion symmetrisch zu irgendeinem Punkt ist, verschiebt man die Funktion so weit nach links/rechts und oben/unten, bis der Symmetriepunkt im Ursprung liegt. Nun kann man für die neue, verschobene Funktion Symmetrie zum Ursprung nachweisen [einfach über f(-x)=-f(x)]. Wenn eine Funktion symmetrisch zu irgend einer Achse ist, verschiebt man die Funktion so weit nach links/rechts, bis die Symmetrieachse auf der y-Achse liegt. Nun kann man für die neue Funktion Symmetrie zur y-Achse nachweisen [einfach über f(-x)=f(x)].
Allgemein - Symmetrie zu einem Punkt:
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