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Damit man eine Zufallsvariable berechnen kann, benötigt man Zahlenwerte. Möchte man beispielsweise den Mittelwert beim Münzwurf bestimmen, fällt sofort auf, dass es wenig sinnvoll ist diesen für Kopf und Zahl zu bilden. Der Mittelwert von 1 und 0 hingegen ist 0, 5. Generell unterscheidet man zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen, weshalb wir auf die beiden Fälle nun getrennt eingehen. Diskrete Zufallsvariable im Video zur Stelle im Video springen (00:47) Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. "Abzählbar unendlich" heißt ganz einfach, dass die Menge der Ausprägungen durchnummeriert werden kann. Ein Beispiel für eine diskrete Zufallsvariable, die abzählbar unendlich ist, wäre zum Beispiel wie viele Liter Bier im Jahr getrunken werden. Zufallsvariablen im diskreten und stetigen Fall · [mit Video]. Hier ist zu beachten, dass man nur von ganzen Litern ausgeht, damit die Werte diskret sind. Theoretisch sind beliebig hohe Werte möglich, aber die Anzahl an Litern bleibt immer abzählbar.
Beide Funktionen enthalten die gleiche Information. Der Unterschied besteht lediglich in der Darstellung dieser Information. Beispiel 11 Die Zufallsvariable $X$ sei die Augenzahl beim Wurf eines symmetrischen Würfels.
\(F\left( x \right) = P\left( {X \leqslant x} \right)\) Sie ist eine monoton steigende Treppenfunktion mit Sprüngen an den Stellen x i und daher nicht stetig. Geometrisch entspricht die Wahrscheinlichkeit P(X=x) der Sprunghöhe der Verteilungsfunktion F(x) an der Stelle x. Strecke f: Strecke G, H Strecke g: Strecke E, F Strecke h: Strecke C, D Strecke i Strecke i: Strecke D, E Strecke j Strecke j: Strecke F, G Strecke k Strecke k: Strecke A, B Strecke l Strecke l: Strecke B, C F(x) Text1 = "F(x)" Text2 = "x" F(x) ist für jedes x definiert und nimmt Werte von mindestens 0 bis höchstens 1 an. Beispiele und Aufgaben im Modul I-4 Zufallsvariablen und ihre Verteilung. \(\eqalign{ & \mathop {\lim}\limits_{x \to - \infty} F(x) = 0 \cr & \mathop {\lim}\limits_{x \to \infty} F(x) = 1 \cr} \) Darüber hinaus gilt: \(\eqalign{ & P\left( {X \geqslant x} \right) = 1 - P\left( {X < x} \right) \cr & P\left( {X > x} \right) = 1 - P\left( {X \leqslant x} \right) \cr} \) Erwartungswert Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X, welche die diskreten Werte x 1, x 2,..., x n mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten P(X=x 1), P(X=x 2),... P(X=x n) annimmt, errechnet sich aus der Summe der Produkte vom jeweiligen Wert x i und seiner Wahrscheinlichkeit P(X=x i).