Der Differenzenquotient berechnet die Steigung der Sekante durch zwei Punkte auf dem Graphen von f. Dies sind die Punkte mit den x -Koordinaten ( x; f ( x)) und ( x + h; f ( x + h)). Der Differenzenquotient wird auch in der Definition der Ableitung verwendet. In der Abbildung rechts kann man sehen, wie sich der Differenzenquotient geometrisch herleiten lässt. Der Differenzenquotient ist eng verwandt mit dem Differentialquotient.
Der Differenzenquotient ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer Größe zu der Veränderung einer anderen, wobei die erste Größe von der zweiten abhängt. In der Analysis verwendet man Differenzenquotienten, um die Ableitung einer Funktion zu definieren. In der numerischen Mathematik werden sie zum Lösen von Differentialgleichungen und für die näherungsweise Bestimmung der Ableitung einer Funktion ( Numerische Differentiation) benutzt. Definition Veranschaulichung des Differenzenquotienten: Er entspricht der Steigung der blauen Geraden Ist eine reellwertige Funktion, die im Bereich definiert ist, und ist, so nennt man den Quotienten Differenzenquotient von im Intervall. Schreibt man und, dann ergibt sich die alternative Schreibweise. Setzt man, also, so erhält man die Schreibweise. Geometrisch entspricht der Differenzenquotient der Steigung der Sekante des Graphen von durch die Punkte und. Für bzw. wird aus der Sekante eine Tangente an der Stelle.
Lesezeit: 5 min Wie gerade besprochen, wollen wir auf die Geraden zurückgreifen - bei denen wir kein Problem haben, die Steigung zu bestimmen - um eine Aussage über die Steigung einer Parabel oder anderen Funktionen treffen zu können. Dies kann nur als grobe Näherung betrachtet werden, bringt uns aber dem Ziel näher, die tatsächliche Ableitungsfunktion bestimmen zu können. Um nun die Steigung einer Parabel in einem Bereich bestimmen zu können, verwenden wir das Hilfsmittel einer Sekante. Die Sekante ist ja eine Gerade, welche einen Graphen in zwei Punkten schneidet. Wie wir im obigen Graphen erkennen können, verläuft die Sekante sehr nahe an dem Graphen von f (in einem bestimmten Bereich) und somit kann zumindest näherungsweise eine Aussage über die Steigungen zwischen P 1 und P 2 getroffen werden, indem man sich auf die Werte der Geraden beruft. Demnach lässt sich der Differenzenquotient wie gewohnt ausdrücken über \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} \) Da wir es jedoch nicht mit beliebigen Punkten D zu tun haben, sondern diese auf dem Graphen der Funktion liegen und die y-Werte einem x-Wert zugeordnet sind, ist die üblichere Schreibweise: m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x} Statt einer gewöhnlichen Geradensteigung haben wir nun die Steigung einer Sekante bestimmt.
Beispiele für den Differenzenquotient Mit dem Differenzenquotient berechnet man die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt. Seine Bedeutung wird anschaulich klar, wenn man sich vorstellt, dass man zwei Punkte auf dem Graphen einer Funktion markiert und zwischen ihnen eine Gerade zeichnet. Die Steigung der Geraden entspricht dann der Steigung der Funktion vom ersten zum zweiten Punkt. Den Wert der Steigung erhält man über den Differenzenquotienten. Formal ist die Steigung einer Funktion f vom Punkt (a, f(a)) zu einem zweiten Punkt (b, f(b)) definiert, als der Quotient der Differenz der beiden Funktionswerte und der Differenz der beiden Variablen. Daher auch der Name Differenzen-Quotient. Die Formel für den Differenzenquotienten lautet also: Wenn wir zu einer gegebenen Funktion f und zwei Variablen a und b die Funktion g der Geraden berechnen wollen, die die beiden Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) verbindet, können wir wieder den Differenzquotienten nutzen und kommen so auf die Geradengleichung: Eine solche Gerade, die zwei Punkte auf dem Graphen einer Funktion verbindet und den Graphen der Funktion an jedem der beiden Punkte schneidet, heißt Sekante.
Es existieren Differenzenquotienten für höhere sowie partielle Ableitungen. Beispiel Es sei. Der Graph von ist eine Normalparabel. Wollen wir die Ableitung z. B. in der Nähe der Stelle ungefähr berechnen, so wählen wir für einen kleinen Wert, z. 0, 001. Das ergibt als Differenzenquotienten im Intervall den Wert. Dieser ist die Sekantensteigung des Funktionsgraphen im Intervall und eine Näherung der Steigung der Tangente an der Stelle. Varianten In der Praxis werden verschiedene Varianten des Differenzenquotienten verwendet, die sich in der Definition von unterscheiden, etwa um die Genauigkeit bei der Bestimmung des lokalen Wachstums, z. der Sekantensteigung eines Graphen, zu verbessern oder um an den Randstellen einer Funktion deren Sekantensteigung "rückwärts" in Richtung des Inneren ihres Definitionsbereichs zu ermitteln. Vorwärtsdifferenzenquotient Der oben definierte Ausdruck wird auch Vorwärtsdifferenzenquotient genannt, weil zur Bestimmung des ersten Funktionswertes, der zur Bildung von notwendig ist, von aus nach rechts, also "vorwärts" gegangen wird.
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Da die beiden Funktionszweige an der Stelle =1 den gemeinsamen Funktionswert 0 besitzen, ist f an der Stelle = 1 auch stetig. F ist daher in = 1 differenzierbar. Das wichtigste auf einen Blick Differenzialquotient und momentane Änderungsrate: Wenn der Punkt Q immer näher an den Punkt P heranrückt, bis er ihn grenzwertig erreicht, ergibt sich die momentane Änderungsrate. Für die Tangentensteigung und damit die momentane Änderungsrate erhält man: Dieser Grenzwert heißt Differenzialquotient und entspricht der 1. Unser Tipp für Euch Zuerst wirkt der Unterschied zwischen mittlerer und momentaner bzw. Differenzenquotient und Differenzialquotient oft nicht sehr klar. Schau dir das oben genannte Beispiel mit den Wachstum von Keimen an. Dort wird der Unterschied zwischen der momentanen und der mittleren Änderungsrate an einem Beispiel verständlich erklärt.
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