"Mathematik für Fachhochschule und duales Studium". Keywords Skalarprodukt Vektorprodukt Durchstoßpunkt Parameterfreie Ebenendarstellung Schnitte von Geraden und Ebenen Normalenvektor Gerade in Parameterform Ebene in Parameterform Authors and Affiliations Darmstadt, Germany Guido Walz About the authors Dr. Guido Walz ist Professor für Angewandte Mathematik an der Wilhelm Büchner Hochschule Darmstadt und Dozent an der Dualen Hochschule Baden-Württemberg, Herausgeber des fünfbändigen "Lexikon der Mathematik" sowie Autor zahlreicher Fachveröffentlichungen und Lehrbücher, u. "Mathematik für Fachhochschule und duales Studium". Bibliographic Information Book Title: Geraden und Ebenen im Raum Book Subtitle: Klartext für Nichtmathematiker Authors: Guido Walz Series Title: essentials DOI: Publisher: Springer Spektrum Wiesbaden eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language) Copyright Information: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Softcover ISBN: 978-3-658-27372-9 eBook ISBN: 978-3-658-27373-6 Series ISSN: 2197-6708 Series E-ISSN: 2197-6716 Edition Number: 1 Number of Pages: IX, 53 Number of Illustrations: 9 b/w illustrations Topics: Linear Algebra
Natürlich ist das Konzept einer Ebene nur im ℝ 3 sinnvoll. Info 10. 8 Eine Ebene E im Raum ist in Punkt-Richtungsform oder Parameterform gegeben als Menge von Ortsvektoren E = { r = a + λ →: λ, μ ∈ ℝ}, oft kurz geschrieben als E: →; λ, μ ∈ ℝ. Hierbei werden λ und μ als Parameter, als Aufpunktvektor und ≠ O als Richtungsvektoren der Ebene bezeichnet. Die Richtungsvektoren sind dabei nicht kollinear. Die Ortsvektoren zeigen dann zu den einzelnen Punkten in der Ebene. Der Aufpunktvektor ist der Ortsvektor eines festen Punktes auf der Ebene, der als Aufpunkt bezeichnet wird: Abbildung 10. 8: Skizze ( C) Während zwei gegebene Punkte im Raum eine Gerade eindeutig festlegen (siehe Abschnitt 10. 2), so legen drei gegebene Punkte im Raum eine Ebene eindeutig fest. Aus drei gegebenen Punkten kann relativ einfach die Parameterform der zugehörigen Ebene bestimmt werden. Die Punkt-Richtungsform einer Ebene ist - wie auch diejenige einer Geraden - für eine gegebene Ebene nicht eindeutig. Es gibt immer viele gleichwertige Punkt-Richtungsformen, um eine Ebene darzustellen.
Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie Geraden und Ebenen Ebenen Raum Startet man mit einem Vektor u → im Raum und betrachtet alle Vielfachen λ →, λ ∈ ℝ dieses Vektors, so erhält man alle Vektoren, die kollinear zu sind (vgl. Infobox 10. 2. 1). Zusammen mit einem Aufpunktvektor - und interpretiert als Ortsvektoren - bilden alle diese Vektoren dann die Parameterform einer Geraden, wie sie im vorigen Abschnitt 10. 2 untersucht wurde. Aufbauend darauf ist es nun natürlich zu fragen, was man erhält, wenn man mit zwei festen (aber nicht kollinearen) Vektoren und v startet und dann alle möglichen Vektoren betrachtet, die zu diesen komplanar sind, also alle Vektoren, die man durch + μ →; λ, μ ∈ ℝ erhält (vgl. wieder Infobox 10. Zusammen mit einem Aufpunktvektor ergibt dies eine Verallgemeinerung des Konzepts der Parameterform einer Gerade, nämlich die Parameterform einer Ebene im Raum, welche in der unten stehenden Infobox beschrieben wird. Für Ebenen werden für gewöhnlich Großbuchstaben ( E, F, G, …) als Variablen verwendet.
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5 Sprinteraufgabe: Alles neu! Familie Sonnenschein wünscht sich eine Veränderungen. Ein neues Sonnensegel soll auf neue Art und Weise (an den Punkten O = (0, 4, 2), P = (0. 5, 0, 3. 5) und Q = (3. 5, 0, 2) im Wintergarten befestigt werden. Stellt eine Gleichung für die neue Fläche auf! Im Wintergarten hängt eine Lampe (tiefster Punkt R = (1. 75, 2, 2)). Prüft, ob sich die Lampe und das Sonnensegel in die Quere kommen! Begründet! Der kleine Tisch im Wintergarten wackelt. Um welchen der beiden Tische rechts handelt es sich vermutlich? Begründet! Angaben zu den Urhebern und Lizenzbedingungen der einzelnen Bestandteile dieses Dokuments finden Sie unter
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