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Wir lösen das Abstandsproblem für verschiedene Kombinationen von Punkten, Geraden und Ebenen. Abstand zwischen zwei Punkten Gegeben sind zwei Punkte und. Wir subtrahieren einen Vektor vom anderen, um den Vektor zwischen und zu erhalten. Die Distanz zwischen beiden Punkten ist dann die Länge dieses Vektors: Abstand zwischen Punkt und Gerade Gegeben ist ein Punkt und eine Gerade. Wir suchen den Abstand zwischen beiden (die kürzeste Distanz zwischen dem Punkt und einem Punkt auf der Geraden). Zuerst normieren wir den Vektor (wir nennen ihn). Anschließend suchen wir einen Vektor, der von einem Punkt auf der Geraden zu Punkt zeigt. Diesen erhalten wir mit. Schließlich nehmen wir das Kreuzprodukt zwischen diesem Vektor und dem normierten Vektor der Geraden, um den kürzesten Vektor zu erhalten, der von einem Punkt auf der Geraden zum Punkt zeigt. Der Abstand ist nun die Länge dieses Vektors: (1) Abstand zwischen Punkt und Ebene Gegeben ist ein Punkt und eine Ebene. Gesucht ist der Abstand, also die kürzeste Distanz vom Punkt zu einem Punkt auf der Ebene.
Möchtest du zusätzlich noch die Koordinaten des Schnittpunktes, verwendest du am besten den Lösungsweg des Lotfußpunktverfahrens. direkt ins Video springen Abstand Punkt Ebene Abstand Punkt Ebene Formel im Video zur Stelle im Video springen (00:47) Der schnellste Rechenweg, um direkt die kürzeste Distanz zwischen Punkt und Ebene zu bestimmen, ist die Abstandsformel. Der Abstand eines Punktes zu einer Ebene beträgt: Abstandsformel Punkt Ebene Ebene in Normalform: Ebene in Koordinatenform: Bei der Berechnung des Abstandes einer Ebene zu einem Punkt mit der Formel musst du diesen Schritten folgen: Abstand berechnen Falls die Ebenengleichung in Parameterform vorliegt, bestimme den Normalenvektor (liegt die Koordinaten- oder Normalenform vor, springe direkt zu Schritt 2). Setze die passenden Werte der Ebenengleichung und des Punktes in die Formel ein. Löse die Formel und berechne den Abstand. Beispiel "Abstandsformel" Wir suchen den Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene E (in Parameterform gegeben).
Anschließend berechnen wir den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) der Gerade mit der Ebene und dessen Entfernung zum untersuchten Punkt. Abstand Punkt Ebene berechnen Abstand Punkt Ebene Lotfußpunktverfahren Beispiel "Lotfußpunktverfahren" Wir suchen wieder den Abstand des Punktes von der Ebene E. Im ersten Schritt müssen wir die Gleichung einer Hilfsgeraden aufstellen, die durch den Punkt verläuft und senkrecht auf steht. Hierzu setzen wir für die Gerade den Punkt als Aufpunkt fest und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor. Als nächstes bestimmen wir den Schnittpunkt (Lotfußpunkt) der Geraden mit der Ebene. Dazu setzen wir die Koordinaten von in die Ebene ein. Tipp Das Einsetzen ist deutlich leichter, wenn die Ebenengleichung in Koordinatenform vorliegt. Am besten wandelst du sie immer in diese Form um. Jetzt setzen wir die Koordinaten von ein. Die Koordinaten des Schnittpunktes können wir nun berechnen, indem wir das in die Geradengleichung übertragen: Der Abstand von zu ergibt sich jetzt aus dem Betrag des Verbindungsvektors.
Wir erhalten den Ortsvektor von $Q$ und damit die Koordinaten, wenn wir den Ortsvektor von $F$ addieren. $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OF} + \overrightarrow{FQ}=\begin{pmatrix} 23, 24 \\ 3, 68 \\ -23, 92 \end{pmatrix}$ Somit ist der erste mögliche Punkt $Q_2$ gefunden. Um die Koordinaten des unteren möglichen Punktes zu erhalten, müssen wir den Vektor $\overrightarrow{FQ}$ umdrehen, damit er in die entgegengesetzte Richtung zeigt und uns zu dem anderen Punkt führt. Das erreichen wir durch den Gegenvektor von $FP$. Es gilt $\overrightarrow{FP}=(-1) \cdot \overrightarrow{PF}$ $\overrightarrow{OQ}= \overrightarrow{OF} -2 \cdot \overrightarrow{FP}= \begin{pmatrix} 2, 76 \\ -3, 68 \\ 7, 92 \end{pmatrix} -2 \cdot \begin{pmatrix} 10, 24 \\ 3, 68 \\ -15, 92 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -17, 72 \\ -11, 04 \\ 39, 76 \end{pmatrix}$ Diese Koordinaten passen nur zu $Q_4$, unserem zweiten gesuchten Punkt.
Im üblichen dreidimensionalen Koordinatensystem fällt es schwer, sich die Situation vorzustellen. Daher zeigt die folgende Grafik den Sachverhalt schematisch unter Beibehaltung der Größenverhältnisse. Stützpunkt und Richtungsvektor der Geraden sind blau markiert. Zum gleichen Typ gehören Aufgaben der Art "Welche Punkte der $x$-Achse haben von der Ebene $E:\ldots$ den Abstand $d=\ldots$? ". Ein Punkt der $x$-Achse hat die allgemeinen Koordinaten $P(u|0|0)$, und Sie können wie oben vorgehen. Beispiel 3: Punkt und Abstand gegeben, Ebenen einer Schar gesucht Aufgabe: Gegeben ist eine Ebenenschar durch die Gleichung $E_t:4x+t\, y-4z=8$. Welche Ebenen der Schar haben vom Punkt $P(1|6|5)$ den Abstand $d=2$? Lösung: Wir setzen in die Koordinatenform der Abstandsformel ein. Wegen der Wurzel wird quadriert; damit wird der Betrag unnötig, da ein Quadrat nicht negativ ist. \dfrac{|4\cdot 1+t\cdot 6-4\cdot 5-8|}{\sqrt{16+t^2+16}}&=2 & &|\cdot \sqrt{t^2+32}\\ |6t-24|&=2\sqrt{t^2+32} & &|(\ldots)^2\\ 36t^2-288t+576&=4t^2+128 & &|-4t^2-128\\ 32t^2-288t+448&=0 & &|:32\\ t^2-9t+14&=0 & &|pq\text{-Formel}\\ t_1&=7\\ t_2&=2 Die Ebenen $E_7:4x+7y-4z=8$ und $E_2:4x+2y-4z=8$ sind vom Punkt $P$ zwei Längeneinheiten entfernt.
In unserem Video zur Parameterform erklären wir sie dir anschaulich und mit vielen Beispielen. Schau es dir gleich an! Zum Video: Parameterform
Abstand zweier Punkte, ist die Länge der kürzesten Verbindung von nach Der Abstand, auch die Entfernung oder die Distanz zweier Punkte ist die Länge der kürzesten Verbindung dieser Punkte. Im euklidischen Raum ist dies die Länge der geradlinigen Strecke zwischen den beiden Punkten. Der Abstand zweier geometrischer Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungslinie der beiden Gegenstände, also der Abstand der beiden einander nächstliegenden Punkte. Werden nicht die einander nächstliegenden Punkte zweier Objekte betrachtet, so wird dies explizit angegeben oder ergibt sich aus dem Zusammenhang, wie beispielsweise der Abstand der geometrischen Mittelpunkte oder der Schwerpunkte. Die Metrik ist der Teil der Mathematik, der sich mit der Abstandsmessung beschäftigt. Der Abstand, die Entfernung, die Distanz zwischen zwei Werten einer Größe oder zwischen zwei Zeitpunkten wird bestimmt, indem man den Absolutbetrag ihrer Differenz bildet, das heißt, indem sie voneinander abgezogen werden und vom Ergebnis der Absolutbetrag gebildet wird.