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Fehlerarten Definition Statistische Tests wie der Hypothesentest können zu einem falschen Schluss bzw. zu einer falschen Entscheidung führen; es werden 2 mögliche Fehlerarten unterschieden: Fehler erster Art ( Alpha-Fehler, α-Fehler): eine Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie zutreffend ist (auch Irrtumswahrscheinlichkeit genannt; die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit, die man bereit ist zu akzeptieren, wird i. d. R. vor dem Hypothesentest als sog. Signifikanzniveau festgelegt); Fehler zweiter Art ( Beta-Fehler, β-Fehler)): eine Alternativhypothese wird verworfen (und die Nullhypothese entsprechend angenommen), obwohl die Alternativhypothese zutreffend ist (und die Nullhypothese nicht). Beispiel Auf das Beispiel zum Hypothesentest mit der Münze bezogen: Der Fehler 1. Art wäre, wenn man sich auf Basis des Testergebnisses (Anzahl von Kopf bei 10-maligem Münzwurf) dafür entscheiden würde, die Alternativhypothese ("Münze defekt / gezinkt") anzunehmen bzw. die Nullhypothese ("Münze fair") zu verwerfen, obwohl die Münze in Wirklichkeit fair ist (und damit die Nullhypothese gültig ist).
Nun wollen wir dies versuchen zu verifizieren oder auch zu verwerfen und das funktioniert, indem wir eine Stichprobe erheben und jene prüfen. Wir gehen also morgens beispielsweise in eine Apotheke und befragen die Kunden, die hereinkommen, ob sie Volksmusik mögen oder nicht. Das Ergebnis überrascht uns etwas, denn 80% mögen Volksmusik. Uns fällt dabei aber auf, dass wir hauptsächlich Rentner befragen, weil Rentner natürlich morgens Zeit haben. Die arbeitende Bevölkerung werden wir in der Regel nicht antreffen und auch Kinder werden morgens nicht allein in die Apotheke gehen. Demzufolge ist das Ergebnis von 80% schon etwas sehr hoch. In Wahrheit, wo auch immer diese Zahl jetzt herkommt, haben wir in Erfahrung bringen können, dass nur 25% der Deutschen Volksmusik mögen. Wir sehen also, dass die Behauptung, das Ergebnis und die tatsächliche Wahrheit, wenn man sie so nennen möchte, durchaus nicht übereinstimmen. Wie kann man das Ganze jetzt mit dem Fehler 1. Art in Verbindung bringen? Nullhypothese und Alternativhypothese Die Nullhypothese (H0) ist immer die Hypothese, die wir falsifizieren, also verwerfen wollen.
Der Fall b) ist hierbei der Alpha-Fehler, Fall d) der Beta-Fehler. Die entscheidende Frage ist, wie hoch sind Alpha-Fehler (Fall b) und Beta-Fehler (Fall d)? Der Fehler 1. Art (Alpha-Fehler) in Zahlen Wenn ihr euch an eure Statistik-Vorlesung zurück erinnert, dann habt ihr häufig etwas von einem Alpha-Fehler von 0, 05 gehört also 5%. Beziehungsweise schaut ihr immer, ob der p-Wert, also die statistische Signifikanz unter diesen "magischen" 5% (teilweise auch 1%) liegt. Diese Schwelle ist euer Alpha-Fehler. Das heißt das Verwerfungsniveau oder die Verwerfungswahrscheinlichkeit der Nullhypothese ist 5% (oder 1%) und damit begeht ihr also wissentlich zu 5% (oder 1%) einen Fehler 1. Art. Ihr verwerft also H0, obwohl sie gilt. Damit ist auch klar, warum man die Grenze, ab der man eine Nullhypothese verwirft, eher klein wählen sollte. Ist euer Alpha 10%, begeht ihr also zu 10% einen Fehler 1. Das ist schon recht viel. Wenn ihr nun noch mehrere paarweise Vergleiche im Rahmen einer ANOVA habt und nicht für den Alphafehler mit einem Post-hoc-Test kontrolliert, kommt ihr ganz schnell sehr wahrscheinlich zu Fehlentscheidungen.
Art zu begehen. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird die in Wirklichkeit wahre Nullhypothese irrtümlich abgelehnt. Es gilt: α = P ( A ¯ p 0) = B n; p 0 ( A ¯) = 1 − B n; p 0 ( A) Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art Die summierte Wahrscheinlichkeit des Annahmebereiches einer Nullhypothese ( H 0: p = p 0) unter der Bedingung X ∼ B n; p 1 ist als Maß dafür anzusehen, wie wahrscheinlich es ist, einen Fehler 2. Art ( β -Fehler) zu begehen. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird die in Wirklichkeit falsche Nullhypothese irrtümlich nicht abgelehnt. Es gilt: β = P ( A p 1) = B n; p 1 ( A) = 1 − B n; p 1 ( A ¯) Für einen festen Stichprobenumfang n lässt sich feststellen: Je kleiner man den Ablehnungsbereich A ¯ wählt, desto kleiner wird auch die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Je kleiner man den Annahmebereich A wählt, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Bei festen Werten für p 0 (Nullhypothese) und p 1 (Alternativhypothese) bewirkt jede Verkleinerung der Wahrscheinlichkeit α eine Vergrößerung der Wahrscheinlichkeit β.
Kennzeichnend ist hier: Man hat im allgemeinen Fall mehrere Größen und zu jeder Größe einen Messwert. Wenn man die Messung einer Größe unter gleichen Bedingungen wiederholt, stellt man häufig fest, dass sich die Einzelmesswerte unterscheiden; sie streuen. Sie haben dann zufällige Abweichungen (zufällige Fehler). Nachfolgend werden Formeln angegeben zur Berechnung eines von diesen Abweichungen möglichst befreiten Wertes und zu dessen verbleibender Messunsicherheit. Kennzeichnend ist hier: Man hat zu einer Größe mehrere Messwerte. Normalverteilung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Häufigkeitsverteilung streuender Messwerte Die Streuung von Messwerten kann man sich in einem Diagramm veranschaulichen. Man teilt den Bereich der möglichen Werte in kleine Bereiche mit der Breite ein und trägt zu jedem Bereich auf, wie viele gemessene Werte in diesem Bereich vorkommen, siehe Beispiel in nebenstehendem Bild. Normalverteilung streuender Messwerte Bei der Gauß- oder Normalverteilung (nach Carl Friedrich Gauß) lässt man die Anzahl der Messungen gehen und zugleich.
Beim (einseitigen) linksseitigen Test (kleine Werte von X sprechen gegen die Nullhypothese H 0 und somit für die Alternativhypothese H 1) wäre der Ablehnungsbereich A ¯ = { 0; 1;... ; k − 1; k}. Ermitteln des kritischen Werts X = k bei vorgegebenem Signifikanzniveau α (Einseitiger) rechtsseitiger Alternativtest: Bei vorgegebenem α -Wert ist k als diejenige kleinste ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt: P ( A ¯ p 0) = P ( X ≥ k) = B n; p 0 ( { k; k + 1;... ; n − 1; n}) = 1 − B n; p 0 ( { 0; 1;... ; k − 1}) ≤ α (Im Allgemeinen wird mit der Beziehung B n; p 0 ( { 0; 1;... ; k − 1}) ≥ 1 − α gearbeitet. ) (Einseitiger) linksseitiger Alternativtest: Bei vorgegebenem α -Wert ist k als diejenige größte ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt: P ( A ¯ p 0) = P ( X ≤ k) = B n; p 0 ( { 0; 1;... ; k − 1; k}) ≤ α