Ein Artikel aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie. In der Mathematik gibt der Satz von Green oder der Satz von Green-Riemann die Beziehung zwischen einem krummlinigen Integral entlang einer geschlossenen einfachen Kurve, die stückweise nach C 1 ausgerichtet ist, und dem Doppelintegral im Bereich der durch diese Kurve begrenzten Ebene an. Dieser Satz, benannt nach George Green und Bernhard Riemann, ist ein Sonderfall des Satzes von Stokes. Zustände Feld durch eine regelmäßige Kurve in Stücken begrenzt. Sei C eine einfache, positiv ausgerichtete ebene Kurve und C 1 stückweise, D der Kompakt der durch C und P d x + Q d y begrenzten 1- Differentialform auf. Wenn P und Q haben kontinuierliche partielle Ableitungen über einen offenen Bereich, die D, dann gilt: Alternative Notation Als Sonderfall des Stokes-Theorems wird der Theorem in der folgenden Form geschrieben und bezeichnet ∂ D die Kurve C und ω die Differentialform. Dann wird die externe Ableitung von ω geschrieben: und der Satz von Green wird zusammengefasst durch: Der Kreis auf dem Integral gibt an, dass die Kante ∂ D eine geschlossene Kurve (orientiert) ist.
Das heißt nichts anderes, als dass die Feldstärke sich nicht ändert, wenn du Dich in z-Richtung bewegst - sie hängt allein vom Abstand zu dieser Achse ab. Deshalb heißt diese Art der Symmetrie auch Achsen- oder Rotationssymmetrie. Dein Ziel ist es ja ein Vektorfeld \( \boldsymbol{F} \) zu berechnen. Dann musst Du das Gauß-Volumen genau so wählen, dass seine Oberfläche durch einen Punkt \(r_1\) verläuft, an dem Du die Feldstärke \( F (r_1) \) berechnen möchtest. Da Du nicht nur die Feldstärke an einem einzelnen Punkt wissen möchtest, sondern an jedem beliebigen Ort \( r \) des Feldes, hat Dein Gauß-Volumen also auch für jeden einzelnen dieser Punkte eine andere Größe. Beispiel für ein Gauß-Volumen Du möchtest das elektrische Feld von einem runden geladenen Draht berechnen und dazu den Satz von Gauß verwenden. Was ist hier das Gauß-Volumen? Ein gedachter Gauß-Zylinder außerhalb, mit dem Radius \(r\) und Länge \(L\) umschließt einen geladenen Leiter mit dem Radius \(R\). Du hast gelernt, dass das Gauß-Volumen kein reales Objekt ist - also nicht das Volumen des Drahtes oder ähnliches.
Durch Ändern der Ausrichtung der Kurve wird das Vorzeichen des krummlinigen Integrals geändert. Die Ausrichtung der Kante ∂ D erfolgt intuitiv so, dass ein Punkt, der sie durchquert, das Feld D ständig links haben muss. Kann auch als Zirkulation des Vektorfeldes interpretiert werden, das auf einem offenen Plan definiert ist, der D enthält. Demonstration in einem vereinfachten Fall Green-Riemann-Theorem in einem vereinfachten Fall. Lassen Sie uns zeigen, dass unter der Annahme, dass die Domäne D beschrieben werden kann durch: wobei f und g Funktionen der Klasse C 1 auf [ a, b] sind, die in a und b zusammenfallen. Das Fubini-Theorem gibt: Nun, damit: Der orientierte Bogen kann jedoch in zwei Teilbögen unterteilt werden: wobei t von a nach b steigt und wo t von b nach a abnimmt. Das krummlinige Integral ist daher: Das ist der oben erhaltene Ausdruck. Wir zeigen dies auch, indem wir annehmen, dass die Domäne D wie folgt beschrieben werden kann: wobei ϕ und ψ Funktionen der Klasse C 1 auf [ c, d] sind, die in c und d zusammenfallen: Verwendet Der Satz von Grün ermöglicht es insbesondere, die Ungleichung von Poincaré sowie den Integralsatz von Cauchy für die holomorphen Funktionen zu beweisen.
Dann gilt für jede kompakte Menge mit glattem Rand, wobei die induzierte Orientierung trägt und die äußere Ableitung von bezeichnet. Zugrundeliegendes topologisches Prinzip Dem Satz von Stokes liegt das topologische Prinzip zugrunde, dass bei der Pflasterung eines Flächenstücks durch gleichorientierte "Pflastersteine" die inneren Wege in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden, was dazu führt, dass sich ihre Beiträge zum Linienintegral gegenseitig aufheben und nur noch der Beitrag der Randkurve übrig bleibt. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als Spezialfall Für entartet der allgemeine Integralsatz von Stokes zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Sei ein offenes Intervall und eine stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt: Integralsatz von Gauß als Spezialfall Als weiterer Spezialfall folgt aus dem allgemeinen Integralsatz von Stokes der Gaußsche Integralsatz. Um das zu zeigen wird gewählt und es sei, d. h. mit dem stetig differenzierbaren Vektorfeld.
Wann ist der Gauß-Integralsatz sehr nützlich? Den Gaußschen Integralsatz benutzst Du in der Regel dafür, um Vektorfelder \(\boldsymbol{F}\) zu berechnen - zum Beispiel ein Gravitationsfeld \(\boldsymbol{G}\) oder elektrisches Feld \(\boldsymbol{E}\). Er ist immer gültig - aber nicht immer nützlich. Wenn Du aber ein Feld berechnen willst, bei dem Du schon vorher weißt, dass es - aus welchen Gründen auch immer - eine Symmetrie aufweist, dann sollten bei Dir die Alarmglocken schrillen! Denn dann wird Dir der Gaußsche Satz eine Menge Arbeit ersparen. Doch zuerst musst Du folgendes beachten: Das Volumen, über das im Gaußschen Integralsatz integriert wird, wird auch Gauß-Volumen \( V \) genannt; seine Oberfläche dementsprechend auch Gauß-Oberfläche \( A \). Diese Oberfläche gehört NICHT zu einem real existierenden Objekt, sondern sie ist eine gedachte Oberfläche, die Du als Rechenhilfe benutzt, um beispielsweise das elektrische Feld einer realen Kugel zu berechnen! Gauß-Volumen in Form einer gedachten Gaußschen Kugel, welche eine reale Kugel umschließt.
Ebene Symmetrie - hier verwendenst Du eine " Gaußsche Schachtel " als Volumen, über das Du integrierst. Diese Art der Symmetrie liegt zum Beispiel dann vor, wenn Du das Feld einer unendlich ausgedehnten geladenen Platte berechnen willst. Die Gauß-Schachtel ist dann einfach eine quaderförmige Box, die ein Stück der Platte einschließt. Es ist egal, wie lang oder breit sie ist - ihr Boden und ihr Deckel müssen aber parallel zur Platte sein und den gleichen Abstand zu ihr haben. Zwar kommen in der Realität natürlich keine unendlich ausgedehnten Platten vor - aber Du kannst das Feld einer großen Kondensatorplatte mit dieser Rechnung gut annähern, solange Du nicht zu nah an den Rand der Platte gehst. Zylindrische Symmetrie - hier verwendest Du einen " Gaußschen Zylinder " als Volumen. Diese Symmetrie findest Du in der Elektrodynamik häufig - jedes runde Kabel, auch Koaxialkabel genannt, hat eine solche Symmetrie! Manchmal versteckt sich der Hinweis, dass eine Zylindersymmetrie vorliegt, aber auch in so einem kryptischen Satz wie "Das Problem ist invariant bezüglich der z-Achse".
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