Etwas schöner ist es, wenn wir die Werte mit 3 multiplizieren um Brüche zu vermeiden (das darf man machen, weil das Ergebnis immer noch die Gleichung löst). x ⇀ 2 = 3 – 8 Beispiel 2. Betrachten wir ein etwas schwierigeres Beispiel. Es sollten Eigenwerte und Eigenvektoren von A berechnet. A = 8 12 – 4 – 40 – 60 20 – 100 – 150 50 Wir berechnen die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Eigenvektoren berechnen | Mathebibel. det 8 – λ 12 – 4 – 40 – 60 – λ 20 – 100 – 150 50 – λ = 0 – x 3 – 2 x 2 = 0 x · x ( – x – 2) = 0 Damit können die Nullstellen sofort abgelesen werden: λ 1 =0, λ 2 =0 und λ 3 =-2. Mehrfache Nullstellen sind ganz normal und dürfen nicht unterschlagen werden. Wir berechnen zuerst den Eigenvektor für λ 3 =-2. 8 – ( – 2) 12 – 4 – 40 – 60 – ( – 2) 20 – 100 – 150 50 – ( – 2) x ⇀ = 0 10 12 – 4 – 40 – 58 20 – 100 – 150 52 x ⇀ = 0 Hier empfiehlt sich den Gauß-Jordan-Algorithmus zu verwenden um das Gleichungssystem zu lösen. Da Ergebnis lautet wie folgt. x ⇀ 3 = 2 – 10 – 25 Nun berechnen wir den Eigenvektor für einen der doppelten Eigenwerte.
Ansonsten ändert sich an dem Verfahren nichts. 8 12 – 4 – 40 – 60 20 – 100 – 150 50 2 x ⇀ = 0 – 16 – 24 8 80 120 – 40 200 300 – 100 x ⇀ = 0 2 3 – 1 2 3 – 1 2 3 – 1 x ⇀ = 0 Naja, es kommt bei diesem Beispiel (blöderweise) die gleiche Matrix wie vor der Multiplikation heraus, aber gut, wir machen weiter. Jetzt werden eine der mehrfach vorhandenen Zeilen durch den bereits vorhandenen Eigenvektor zum gleichen Eigenwert ersetzt und die restlichen eliminiert (eine Zeile – andere = 0). 2 3 – 1 – 1 1 1 0 0 0 x ⇀ = 0 Durch Umformung mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus kommt man auf die folgende Form. 1 0 – 4 / 5 0 1 1 / 5 0 0 0 x ⇀ = 0 Daraus kann man den Lösungsvektor ablesen (letzte Komponente frei wählbar). x 2 ⇀ = 4 / 5 – 1 / 5 1 Mit 5 multipliziert ergibt sich eine schönere Darstellung. x 2 ⇀ = 4 – 1 5 Hätten man beispielsweise einen dreifachen Eigenwert, so müsste man das Verfahren analog weiter anwenden, d. Die Eigenvektoren und Eigenwerte. h. k=3 setzen und dann die beiden anderen Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert in die Matrix einsetzen.
B. mit der p-q-Formel lösen lässt: Die p-q-Formel lautet allgemein: $$x_{1/2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {p}{2}\right)^2 - q}$$ In der obigen Gleichung ist p = -4 und q = +3. Das gibt dann 2 Lösungen λ 1 und λ 2: $$λ_1 = \frac{-(-4)}{2} + \sqrt {\left (\frac {-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 + \sqrt {4-3} = 2 + 1 = 3$$ $$λ_2 = \frac{-(-4)}{2} - \sqrt {\left (\frac {-4}{2}\right)^2 - 3} = 2 - \sqrt {4-3} = 2 - 1 = 1$$ Die Eigenwerte der Matrix A sind 3 und 1. Eigenvektoren und Eigenwerte - Matheretter. Eigenvektoren berechnen Hat man die Eigenwerte berechnet, kann man für diese die Eigenvektoren berechnen. Dazu wird folgende Gleichung gleich 0 gesetzt: (A - λ × E) × x = 0 Dabei ist A die Matrix, λ ist ein Eigenwert und x ist der gesuchte Eigenvektor. Dazu rechnet man erst mal (A - λ × E) aus; Für den Eigenwert 3: $$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Mit welchem Vektor muss man dies multiplizieren, um den Nullvektor als Ergebnis zu bekommen?
Eigenwerte Definition Unter Umständen besitzen quadratische Matrizen einen oder mehrere sogenannte Eigenwerte. Gilt für die gegebene Matrix A und einen (zu findenden) Vektor x $$A \cdot x = λ \cdot x$$ (in Worten: Matrix A mal Vektor x ist gleich λ (Lambda) mal Vektor x) ist die Zahl λ ein Eigenwert der Matrix A und x ein dazugehöriger Eigenvektor.
Analog kann man für die anderen beiden Eigenwerte die Eigenvektoren bestimmen. Zum Eigenwert sind die Eigenvektoren aus der Menge. Für ist jeder Vektor der Menge ein Eigenvektor. Beliebte Inhalte aus dem Bereich Lineare Algebra
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