Man fixiere eine stetige, aber nirgends differenzierbare Funktion. Nach dem Approximationssatz von Weierstraß existiert eine Folge von Polynomen, die gleichmäßig auf gegen konvergiert. Die Folge konvergiert gleichmäßig auf gegen die Nullfunktion, während die Ableitungen nirgends gegen die Ableitung der Nullfunktion konvergieren. Die Folge konvergiert lokal gleichmäßig auf gegen die Betragsfunktion. Letztere ist in nicht differenzierbar, allerdings schon für. Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer-Verlag 2000, ISBN 3540676414.
Dieser Spezialfall kann leicht aus dem obigen allgemeinen Satz hergeleitet werden, wenn man als Unteralgebra P die Menge der Polynome nimmt (s. auch Bernsteinpolynome). Eine weitere wichtige Folgerung (oft ebenfalls als Approximationssatz von Weierstraß bezeichnet) ist, dass jede stetige 2π-periodischen Funktion gleichmäßig durch trigonometrische Polynome (d. h. Linearkombinationen von und mit oder äquivalent Linearkombinationen von mit) approximiert werden kann (eine konkrete Approximation dieser Art liefert der Satz von Fejér). Jedoch impliziert das nicht, dass die Fourierreihe von eine gleichmäßig stetige Approximation der Funktion darstellt. Tatsächlich ist es sogar möglich, dass die Fourierreihe von noch nicht einmal punktweise gegen konvergiert. Mittels der Alexandroff-Kompaktifizierung überträgt sich der Satz auch auf den Raum der -Funktionen (siehe dort) auf einem lokalkompakten Hausdorff-Raum. Historie [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] 1885 veröffentlichte Weierstraß einen Beweis seines Satzes.
(Letzteres kann nicht passieren, aber das weiß man an dieser Stelle noch nicht). Nun wendet man den Satz von Bolzano-Weierstraß auf die Folge (x n) n ∈ ℕ im Definitionsbereich an. Dies liefert einen Häufungspunkt p der Folge, und man zeigt nun mit Hilfe der Stetigkeit von f im Punkt p, dass die Funktion f im Punkt p wie gewünscht ihr Maximum annimmt. Eine analoge Argumentation oder ein Übergang zu −f zeigt die Annahme des Minimums. Eine stetige Funktion auf einem Intervall [ a, b] kann ihr Maximum und ihr Minimum mehrfach annehmen, man betrachte etwa den Kosinus auf dem Intervall [ 0, 6 π]. Eine konstante Funktion nimmt sogar in jedem Punkt ihr Minimum und ihr Maximum an. Umgekehrt gilt: Ist das Minumum einer Funktion gleich ihrem Maximum, so ist die Funktion konstant. Der Extremwertsatz ist für stetige Funktionen, die auf offenen oder halboffenen Intervallen definiert sind, im Allgemeinen nicht mehr gültig: Beispiele (1) Die Funktion f:] 0, 1] → ℝ mit f (x) = 1/x nimmt ihr Minimum 1 im Punkt 1 an, aber ihr Wertebereich [ 1, +∞ [ ist nach oben unbeschränkt und hat kein Maximum.
Er ist… … Deutsch Wikipedia Satz von Bolzano-Weierstrass — Der Satz von Bolzano Weierstraß (nach Bernhard Bolzano und Karl Weierstraß) ist ein Satz der Analysis. Er lautet: Erste Fassung: Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen (mit unendlich vielen Gliedern) enthält (mindestens) eine konvergente… … Deutsch Wikipedia Satz von Lindemann-Weierstrass — Der Satz von Lindemann Weierstraß ist ein zahlentheoretisches Ergebnis über die Nichtexistenz von Nullstellen bei gewissen Exponentialpolynomen, woraus dann beispielsweise die Transzendenz von e und π folgt. Er ist benannt nach den beiden… … Deutsch Wikipedia
Jede konvergente Folge kann als Summe aus ihrem Grenzwert und einer Nullfolge dargestellt werden \(\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \, \, {a_n} = 0\) Die Folge mit \({a_n} = \dfrac{1}{n}\) ist ein Beispiel für eine Nullfolge Konvergenz, Divergenz Eine Folge ⟨a n ⟩ nennt man konvergent mit dem Grenzwert g, wenn in jeder e -Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. Folgen die keinen Grenzwert haben, heißen divergent. \(\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty} \, \, {a_n} = g\) Supremum und Infimum Supremum: Wenn die Folge nach oben beschränkt ist, dann heißt die kleinste obere Schranke ihr Supremum. Infimum: Wenn die Folge nach unten beschränkt ist, dann heißt die größte untere Schranke ihr Infimum. Supremum bzw. Infimum müssen selbst nicht zur Folge gehören; Maximum und Minimum Maximum: Das Maximum ist das größte Element der Folge. Jedes Maximum ist ein Supremum. Minimum: Das Minimum ist das kleinste Element der Folge. Jedes Minimum ist ein Infimum. Maximum und Minimum müssen zur Folge gehören.
Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. In: Comptes Rendus Acad. Sci. Paris 77, (1873), S. 18–24. Charles Hermite: Sur la fonction exponentielle. Gauthier-Villars, Paris (1874). Ferdinand Lindemann: Über die Ludolph'sche Zahl. In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 2 (1882), S. 679–682. Ferdinand Lindemann: Über die Zahl. In: Mathematische Annalen 20 (1882), S. 213–225. Karl Weierstraß: Zu Lindemann's Abhandlung. "Über die Ludolph'sche Zahl". In: Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin 5 (1885), S. 1067–1085. David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen e und. In: Mathematische Annalen 43 (1893), S. 216–219. Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ David Hilbert: Ueber die Transcendenz der Zahlen und, Digitalisat, auch Wikibooks
Der weierstraßsche Konvergenzsatz ist ein nach Karl Weierstraß benannter Satz aus der Funktionentheorie. Er besagt, dass die Grenzfunktion einer lokal gleichmäßig konvergenten Folge holomorpher Funktionen wiederum eine holomorphe Funktion ist. Zudem konvergieren auch sämtliche Ableitungen lokal gleichmäßig gegen die entsprechende Ableitung der Grenzfunktion. Formulierung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Sei ein Gebiet und eine Folge holomorpher Funktionen, die auf lokal gleichmäßig gegen eine Funktion konvergiert, das heißt, zu jedem gibt es eine Umgebung von, so dass auf gleichmäßig gegen konvergiert. Dann gilt: ist holomorph. Für jedes konvergiert auf lokal gleichmäßig gegen. Gegenbeispiele im Reellen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der weierstraßsche Konvergenzsatz ist insofern bemerkenswert, als sein reelles Analogon falsch ist: Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge differenzierbarer Funktionen muss nicht differenzierbar sein, und selbst wenn sie es ist, brauchen die Ableitungen der Folgenglieder nicht punktweise gegen die Ableitung der Grenzfunktion zu konvergieren.
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[7] Kritiken [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] "Audiard ist kein Message-Filmer, dafür ist er zu raffiniert. Jede Theoretisierung der Themen seines Werks schlägt immer schon auch ein bisschen daneben. Kriminelle Machenschaften von Unternehmenschefs etwa führt er nicht über die Opfer ein und auch nicht über das System, sondern über den abhängigen Mittelsmann. Dieser seitliche Einstieg ermöglicht es ihm, Machtdiskurse zu streifen, noch ehe man sich's versieht. Der Geschmack von Rost und Knochen (2012) | Film, Trailer, Kritik. Er beleuchtet in aller Deutlichkeit gesellschaftliche Felder, führt sie auch ohne Umschweife und falsche Subtilität über seinen Plot und die Dialoge ein. Aber im nächsten Moment ist er immer schon weiter, im Konkreten. " – – die Filmseite [8] "Selten wurde im Kino mit so brutaler Schönheit gezeigt, wie zwei Menschen das Lieben lernen. " "Bei Jacques Audiard, der es dem Publikum in seinen bislang sechs Regiearbeiten immer wieder zugemutet hat, Empathie mit amoralischen Helden zu entwickeln, hat auch die Liebe ein Gewissen. Sein neuer Film handelt von einem umfassenden, mithin auch sozialen Lernprozess.