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Frage Wir haben: n \mathbb{P}(X>n) = n \sum_{k=n+1}^{+\infty} \mathbb{P}(X=k)= \sum_{k=n+1}^{ +\infty}n\mathbb{P}(X=k) Dieser Betrag kann erhöht werden \sum_{k=n+1}^{+\infty}n \mathbb{P}(X=k) \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}( X=k) Wir haben daher folgenden Rahmen: 0 \leq n \mathbb{P}(X>n) \leq \sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}(X=k) Oder, \sum_{k=n+1}^{+\infty}k \mathbb{P}(X=k) Ist der Rest einer Konvergenzreihe (derjenige, der die Erwartung definiert). Also nach Rahmen: \lim_{n\rightarrow+\infty}n\mathbb{P}(X>n)=0 Wir leiten dann ab: \begin{array}{ll} &\displaystyle \lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{k=0}^nk\mathbb{P}(X=k) =\lim_{n \rightarrow + \infty}\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>k)-n\mathbb{P}(X>n)\\ \Leftrightarrow &\displaystyle \mathbb{E}(X) =\lim_ {n\rightarrow+\infty}\sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>k)\end{array} Womit der zweite Teil dieser Frage 2 abgeschlossen ist! Frage Wir wissen das: \sum_{k=0}^nk\mathbb{P}(X=k)= \sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i) -n\mathbb{P}(X>n)\\ Aus diesem Ergebnis leiten wir dann ab: \sum_{k=0}^nk\mathbb{P}(X=k)\leq \sum_{i=0}^n\mathbb{P}(X>i) \\ Der Term rechts ist die Partialsumme einer konvergenten positiven Termreihe.
Collins antwortet, dass Newton ebenfalls an einem solchen Satz arbeite. Nach den unangenehmen Erfahrungen mit Huygens entscheidet sich Gregory, erst die Veröffentlichung Newtons abzuwarten, bevor er seine eigenen Erkenntnisse publiziert. – Ein anderer Brief enthält seine Erkenntnis, dass sich die Kreiszahl \(\pi\) ebenfalls mithilfe einer Reihenentwicklung bestimmen lässt: \(\arctan(1)=\frac{\pi}{4}= 1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}\mp... \) (als Sonderfall der Reihenentwicklung \(\arctan(x)=x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7 \pm... Korrigierte Übung: Hoffnungsübungen - Fortschritte in Mathematik. \)) 1672 präsentiert Newton der Royal Society das von ihm entwickelte Spiegelteleskop, das sich im Wesentlichen nur dadurch vom Modell Gregorys unterscheidet, dass der Beobachter seitlich in das Instrument schaut. Newton behauptet, keine Kenntnisse vom Entwurf Gregorys zu haben, allerdings findet man dessen Werk in seiner Bibliothek (mit umgeknickten Ecken auf wichtigen Seiten). Gregory scheut sich immer noch, seine vielfältigen neuen Einsichten zu publizieren.
Dies gilt auch für die bemerkenswerte Entdeckung, dass das Phänomen der Zerlegung des Lichts in Farben auch durch Beugung entstehen kann – von ihm selbst beobachtet, als er eine Vogelfeder in einen Sonnenstrahl hält. Zu Beginn der 1670er Jahre intensiviert Gregory seine astronomischen Beobachtungen; durch Messungen während einer Mondfinsternis kann er den Längengrad seines Beobachtungsorts St. Ableitungen übungen pdf mit lösung. Andrews exakt bestimmen. Hinsichtlich der Einrichtung eines Observatoriums wird er von der Universität nur im geringem Maße unterstützt. So wechselt er 1674 an die Universität von Edinburgh, wo er ein Jahr später im Kreise seiner Studenten während der Beobachtung der Jupitermonde einen Schlaganfall erleidet und wenige Tage später – er ist noch nicht 37 Jahre alt – stirbt. Erst durch die zum Teil erst Jahrhunderte später erfolgte Auswertung seiner Manuskripte wurde deutlich, mit wie vielen Themen sich dieser Mathematiker beschäftigt hatte. Und wie bei anderen Wissenschaftlern dieser Zeit mussten einige Entdeckungen mehrfach erfolgen, bevor sie zum Wissen der Allgemeinheit wurden.
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Der Mathematische Monatskalender: James Gregory (1638–1675) Jahrzehnte vor Newton und Leibniz nimmt er wesentliche Erkenntnisse der Differenzial- und Integralrechnung vorweg. © Andreas Strick (Ausschnitt) Seine Begabung für Mathematik verdankt der schottische Mathematiker James Gregory (manchmal auch Gregorie geschrieben) wohl eher seiner Mutter als seinem Vater, der als Pfarrer im schottischen Drumoak (bei Aberdeen) wirkt. Der Bruder seiner Mutter war einer der Schüler von François Viète und nach dessen Tod der Herausgeber seiner Schriften. Die Mutter unterrichtet den Jungen in Geometrie, und dieser hat keine Probleme, die Elemente des Euklid durchzuarbeiten. Nach dem Besuch der Grammar School wechselt er an ein College in Aberdeen. James Gregory (1638 – 1675), schottischer Pionier der Infinitesimalrechnung - Spektrum der Wissenschaft. Ermutigt durch seinen 10 Jahre älteren Bruder David, beschäftigt sich James mit der Konstruktion von Teleskopen. Nach den Linsenfernrohren, wie sie Galileo Galilei (1608) und Johannes Kepler (1611) gebaut hatten, entwickelten unter anderem Bonaventura Cavalieri (1632) und Marin Mersenne (1636) – angeregt durch die Schriften von Ibn-Al-Haytham (Alhazen) – erste Teleskope, die das Prinzip der Reflexion zur Beobachtung der Planeten und des Sternenhimmels nutzten.