Gewöhnliche DGL Lösungsansätze Übersicht Separierbare DGL 1. Ordnung Form: Lösung mithilfe Trennung der Variablen: Durch Substitution lösbare DGL Form: mit Lösung durch Substitution und Trennung der Variablen: Substituiere:, somit ist Dann ist Durch Trennung der Variablen erhältst du die Lösung von. Die Rücksubstitution liefert dir dann Lineare DGLs Die allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen DGL setzt sich aus 1. der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen DGL 2. der partikulären Lösung der inhomogenen DGL zusammen: Homogene lineare DGL 1. Ordnung Form: Die allgemeine Lösung lautet:, wobei und. Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung Form: Lösung durch Variation der Konstanten:, wobei und Inhomogene lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Form:, wobei Allgemeine Lösung der homogenen DGL: Partikuläre Lösung der inhomogenen DGL: Wenn von der Form: Ansatz: Wenn von der Form: und Ansatz: Die allgemeine Lösung ist dann:
Betrachten wir den Fall, dass NUR die DGL gegeben ist (also KEINE Funktion). Den einfachsten Fall einer DGL hat man, wenn die DGL homogen und linear ist (also die Form hat: a·y'+b·y=0, wobei a und b durchaus von x abhängen können). Nun schreibt man y' um zu: "dy/dx", multipliziert die gesamte Gleichung mit "dx" und versucht nun auch im Folgenden, alle "x" auf eine Seite der Gleichung zu bringen, alle "y" auf die andere Seite der Gleichung. Im zweiten Schritt integriert man beide Seiten der Gleichung (die Integrationskonstante "+c" nicht vergessen! ). Im Normalfall kann man nun nach y auflösen. Falls eine Anfangsbedingung gegeben ist (ein "x"-Wert und ein zugehöriger "y"-Wert) kann man diese in die Funktion einsetzen und erhält die Integrationskonstante "c" bestimmen. Dieses Verfahren nennt sich "Trennung der Variablen" oder "Variablentrennung".
Während "Trennung der Variablen für einen ganz anderen Typ passend ist:. Natürlich gibt es Schnittmengen von beiden (s. o. ), aber keins von beiden ist Teilmenge des anderen. Anzeige 20. 2014, 07:33 Huch! Wo HAL Recht hat, hat er Recht. Schöne Grüße aus dem Land, wo alles linear ist.
4. überarbeitete Auflage. Springer, 1990, ISBN 3-540-52017-1, S. 13–20 Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. 9. Auflage. Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-498-4, S. 316–333 Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 6. aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2, S. 102-122 Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Jochen Merker: Differentialgleichungen (PDF; 602 kB) Skript, Sommersemester 2011, Uni Rostock, insbesondere S. 12–14 Eric W. Weisstein: Separation of Variables. In: MathWorld (englisch). Separation of Variables. Paul's Online Math Notes, Lamar University Ron Larson: Separation of Variables. (PDF; 200 kB) (freies Buchkapitel aus Calculus: Applied approach) Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] ↑ How do you solve this differential equation using the separation of variables dy/dx= (y-2)/x? Abgerufen am 27. Januar 2022 (englisch). ↑ a b Trennung der Variablen: Erklärung und Beispiel. Abgerufen am 18. September 2021.
0. Zerlegung der Veränderlichen Es handelt sich um eine Funktion der Form: $y' = f(x) \cdot g(y)$ mit $ f(x) = -2x $ und $ g(y) = y^2-y $ 1. Bestimmung der Nullstellen von g(y): $ y^2 - y = y(y-1) = 0 \rightarrow y_1= 0, \ y_2 = 1 $ Diese konstanten Funktionen $ y_1 = 0 $ und $ y_2 = 1 $ sind [partikuläre] Lösungen. Trennung der Veränderlichen: Die Trennung der Veränderlichen erfolgt durch: $\frac{dy}{gy} = f(x) \; dx$ Einsetzen von $g(y) = y(y - 1)$ und $f(x) = -2x$ ergibt: $\frac{dy}{y(y - 1)} = -2x \; dx $ 3. Integralschreibweise Beide Seiten der obigen Gleichung werden mit einen Integral versehen $\int \frac{dy}{y(y-1)} = \int -2x \ dx $ Umstellen: $\int \frac{1}{y(y-1)} \; dy = \int -2x \ dx $ 2. Auflösen der Integrale $\int \frac{dy}{y(y-1)} = ln|\frac{y-1}{y}|$ 3. Vereinfachen $ ln |\frac{y-1}{y}| = - x^2 + k $ [ in $k$ ist die Integrationskonstante der linken Seite bereits mit enthalten! ] $ |\frac{y-1}{y}| = e^{-x^2 + k} =e^k e^{-x^2} $ $ \frac{y-1}{y} = c \cdot e^{-x^2}$, [ $c$ wird anstelle der Konstanten $e^k$ verwendet mit $ c \not= 0$] 4.
Und der Koeffizient \(K\) ist in diesem Fall eine Zerfallskonstante \(\lambda\). Es sind lediglich nur andere Buchstaben. Der Typ der DGL ist derselbe! Nach der Lösungsformel musst du den Koeffizienten, also die Zerfallskonstante über \(t\) integrieren. Eine Konstante zu integrieren ergibt einfach nur \(t\). Und schon hast du die allgemeine Lösung für das Zerfallsgesetz: Allgemeine Lösung der DGL für das Zerfallsgesetz Anker zu dieser Formel Illustration: Exponentieller Abfall der Anzahl der Atomkerne beim Zerfallsgesetz. Damit kennst du jetzt nur das qualitative Verhalten, nämlich, dass Atomkerne exponentiell Zerfallen. Du kannst aber noch nicht konkret sagen, wie viele Kerne nach so und so viel Zeit schon zerfallen sind. Das liegt daran, dass du die Konstante \(C\) noch nicht kennst. Sie gibt schließlich beim Zerfallsgesetz die Anzahl der Atomkerne an, die am Anfang, bevor der Zerfall anfing, da waren. Du brauchst also eine Anfangsbedingung als zusätzliche Information zur DGL. Sie könnte beispielsweise so lauten: \( N(0) = 1000 \).
Partielle DGL Beispiel: eindimensionale Transportgleichung Zu guter Letzt noch ein Beispiel: die eindimensionale Transportgleichung Partielle Differentialgleichung Beispiel Diese Gleichung beschreibt den Transport eines Stoffes mit Konzentration c(x, t) in einer inkompressiblen Flüssigkeit mit Strömungsgeschwindigkeit v(x, t). x gibt den Ort und t die Zeit an. Du hast partielle Differentialgleichungen kennengelernt und das Beispiel der Transportgleichung gesehen.
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