Der Kern einer Abbildung dient in der Algebra dazu, anzugeben, wie stark die Abbildung von der Injektivität abweicht. Dabei ist die genaue Definition abhängig davon, welche algebraischen Strukturen betrachtet werden. So besteht beispielsweise der Kern einer linearen Abbildung zwischen Vektorräumen und aus denjenigen Vektoren in, die auf den Nullvektor in abgebildet werden; er ist also die Lösungsmenge der homogenen linearen Gleichung und wird hier auch Nullraum genannt. In diesem Fall ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor in besteht. Analoge Definitionen gelten für Gruppen- und Ringhomomorphismen. Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz. Definition [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Ist ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge aller Elemente von, die auf das neutrale Element von abgebildet werden, Kern von genannt. Er ist ein Normalteiler in. Ist eine lineare Abbildung von Vektorräumen (oder allgemeiner ein Modulhomomorphismus), dann heißt die Menge der Kern von.
2008, 00:45 Sei eine lineare Abbildung. Angenommen, es würde Kern(A) = Bild(A) gelten... Bitte vervollständigen, AmokPanda! 12. 2008, 00:47 dann müsste K: y = Ax gelten? 12. 2008, 00:50 Nein, dann musst du den Dimensionssatz anwenden. Bei dir scheint aber einiges im Argen zu liegen... 12. 2008, 00:56 naja erstes semester, da ist das alles noch ziemliches neuland... aber das wird hoffentlich noch also der dimensionssatz dimension = kern + bild also wäre das dann: dim 5 = kern A + Bild A -> Kern A verschieden Bild A so richtig??? 12. 2008, 01:08 Nein, das macht gar keinen Sinn, die Dimension ist einfach eine Zahl, was soll dann diese Gleichung aussagen? Dass du den Dimensionssatz, den ich oben verlinkt habe, nichtmal richtig zitierst hat wenig damit zu tun, in welchem Semester du bist, sondern wie sorgfältig du arbeitest! Also jetzt vollständig: Angenommen, es würde Kern(A) = Bild(A) gelten, dann gilt nach Dimensionssatz Da und Dimensionen ganzzahlig sind, folgt der Widerspruch. 12. 2008, 01:09 so hatte ich das auch gemeint wusste halt nur nicht wie ichs aufschreiben soll... viellen dank für die hilfe
Er ist ein Untervektorraum (allgemeiner ein Untermodul) von. Ist ein Ringhomomorphismus, so ist die Menge der Kern von. Er ist ein zweiseitiges Ideal in. Im Englischen wird statt auch oder (für engl. kernel) geschrieben. Bedeutung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Der Kern eines Gruppenhomomorphismus enthält immer das neutrale Element, der Kern einer linearen Abbildung enthält immer den Nullvektor. Enthält er nur das neutrale Element bzw. den Nullvektor, so nennt man den Kern trivial. Eine lineare Abbildung bzw. ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor bzw. dem neutralen Element besteht (also trivial ist). Der Kern ist von zentraler Bedeutung im Homomorphiesatz. Beispiel (lineare Abbildung von Vektorräumen) [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten] Wir betrachten die lineare Abbildung, die durch definiert ist. Die Abbildung bildet genau die Vektoren der Form auf den Nullvektor ab und andere nicht. Der Kern von ist also die Menge. Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die -Achse) und hat demnach die Dimension 1.
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Aufgabe: Im Vektorraum \( \mathbb{R}^{3} \) seien die Vektoren \( v_{1}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), v_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), v_{3}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \) und \( w_{1}=\left(\begin{array}{r}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), w_{2}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), w_{3}=\left(\begin{array}{r}4 \\ 1 \\ -3\end{array}\right) \) gegeben. a) Zeigen Sie, dass es genau eine lineare Abbildung \( \Phi: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gibt mit \( \Phi\left(v_{i}\right)=w_{i} \) für \( i=1, 2, 3 \). b) Bestimmen Sie Kern \( \Phi \), Bild \( \Phi \) und deren Dimensionen. c) Zeigen Sie, dass \( \Phi \circ \Phi=\Phi \) ist. Problem/Ansatz: War leider nicht so meine Aufgabe. Habe nach langer Bedenkzeit immer noch nichts raus.
Kern und Bild einer linearen Abbildung - YouTube
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Wer also nach einem handlichen Vergrößerungsspiegel sucht wird wirklich sehr zufrieden sein, wer das komplette Gesicht vergrößert haben möchte dem sei zum Kauf einer größeren Version geraten! Ich vergebe hier 4 Sterne! Ich habe mir diesen Spiegel zugelegt, weil das gelbliche Licht in unserem Badezimmer zum Schminken und auch zum Augenbrauenzupfen einfach nicht geeignet ist. Zudem ist der große Spiegel auch sehr weit weg und ich wollte eine Vergrößerung haben, um auch kleine Partikel gut erkennen zu können. Dieser Spiegel vergrößert 15-Fach, sodass man auch kleine Schminkrückstände erkennt. Das war für mich wichtig, weil ich oft die Wimperntusche zu hastig auftrage und dann korrigieren muss. Auch die feinsten Härchen sind beim Augenbrauenzupfen dadurch gut sichtbar. Das wird dann noch dadurch unterstützt, dass man den Spiegel mit LED betreiben kann. Ich hatte etwas Bedenken, dass das zu grell sein könnte, aber da man sich ja nicht direkt als aller erstes nach dem Aufwachen schminkt, ist die Leistung der LEDs durchaus okay.
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