Z. linksseitige Annäherung von (3+2x) (3+2*(-2)) = -1 (3+2*(-1. 5)) = 0 (3+2*(-1. 1)) = 0. 8 (3+2*(-1. 01)) = 0. 98 Der Zähler nähert sich somit den Wert 1, während der Nenner immer kleiner wird (genauer gesagt: unendlich klein wird). Wenn ich nun einen konstanten Wert durch einen unendlich kleinen Wert dividiere (ganzer Bruch), dann wird der Bruch insgesamt gegen +∞ gehen. Die rechtsseitige Annhäherung funktioniert analog, dort muss man einfach von Werten mit x>-1 in Richtung x=-1 "navigieren". Allerdings ändert das am Resultat nichts, denn der Zähler wird immer noch positiv sein, wie auch der Nenner. Grenzwertberechnung mitttels Termumformung | Mathelounge. Somit kommt man auch hier zum Resultat, dass der Bruch insgesamt gegen +∞ gehen wird. In manchen Aufgaben zu Grenzwerten geht es auch einfach darum, dass man den vorliegenden Term zuerst ein bisschen vereinfacht und erst dann den Grenzwert zu bestimmen versucht. Typisch ist, gemeinsame Faktoren aus Zähler und Nenner auszuklammern und wegzukürzen, oftmals auch unter Anwendung der binomischen Formeln; wenn z. im Nenner steht x^2+4 könnte man das schreiben als (x+2)(x-2).
Ok, wenn man jetzt noch nach binomischen Ausdrücken suchen will, ja. Aber das ist ja hier so ein Fall, wo man noch tatsächlich ohne L'Hospital wegkommt. Mit L'Hospital hätte man es so zu stehen: $$ \lim_{x\to 2}\frac{x^4-16}{x-2}\stackrel{L. H}{=}\lim_{x\to2}\frac{4\cdot x^3}{1}=\lim_{x\to 2}4\cdot x^3=4\cdot 2^3=4\cdot 8=32. $$
Also, erstmal ist das keine Hausaufgabenfrage, sondern eine Verständnisfrage. Ich mach ein Beispiel um die "komischen" Terme klar zu machen. Also, ich verstehe, wie man das macht wenn man einen Term hat, wie (x²-4)/(x-2) geht, weil x²-4 ja eine eindeutige binomische Formel von (x-2)*(x+2) ist. Wie ist das denn z. B. mit (x³-x)/(x+1)? Termumformung bei Grenzwertberechnung. Da ist doch x+1 keine binomische Formel von (x³-x), wie kann man denn dann in den oberen Bruchstrich (x+1) machen. Und nicht nur für dieses Beispiel, sondern wie kann man im allgemeinen immer die obere Klammer auch mit der unteren aufteilen? Wenn ihr nicht genau versteh, was ich wissen will, sagt bitte Bescheid. Es ist sehr sehr wichtig! Ich danke euch allen! Grenzwertbildung für solche Terme als gebrochenrationale Potenzfunktionen ist doch eigentlich ganz einfach, daher verwundern mich die anderen Antworten hier, aber evtl. habe ich auch gerade was missverstanden... Wenn es um das Randverhalten solcher Terme als Funktionen geht, einfach im Zähler und Nenner die größte Potenz zur Basis x ausklammern.
f(x)=(x^3-x)(x+1) = [x^3(1-1/x^2)] / [x(1+1/x)] = [x^2(1-1/x^2)] / [1+1/x] lim x gegen +unendlich ([x^2(1-1/x^2)] / [1+1/x]) = +unendlich Weil -1/x^2 und 1/x dabei gegen Null gehen (also wegfallen) und der Rest +unendlich ergibt, entsprechend auch so bei -unendlich verfahren. Aber evtl. ging nur darum, den Term zu vereinfachen, dann wären die anderen Antworten sinnvoll, zu beachten wäre aber dabei noch, dass sich dann u. U. der Definitionsbereich ändert. Bestimmen Sie den Grenzwert durch Termumformung und Anwenden der Grenzwertsätze: | Mathelounge. Kläre doch mal bitte auf, worum es ganz genau gehen soll... (x³ - x) / (x + 1) = x * (x² - 1) / (x + 1) = (x - 1) * (x + 1) / (x + 1) usw. Wenn du so einen Ausdruck hast, dann solltest du zunächst einmal alles ausklammern, was irgendwie geht. Also beii (x³ - x) das x ausklammern. : (x³ - x) = x (x² -1). Dann kannst du schauen, ob du eine binomische Formel anwenden kannst: (x³ - x) = x (x-1) (x+1). Aber der erste Schritt ist wichtig: Ausklammern, was man irgendwie ausklammern kann! Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Dipl. -Math.
22. 12. 2010, 17:20 Medwed Auf diesen Beitrag antworten » Termumformungen vor Grenzwertbestimmungen Meine Frage: Hallo, Gegeben sei die Folge an, n ist Element der Natürlichen Zahlen, an = sqrt(n + 4)? sqrt(n + 2) Um den Grenzwert zu bestimmen, wenden wir die binomische Formel an und dividieren dann durch die höchste Potenz. Danach lassen wir n gegen unendlich laufen und bestimmen somit den Grenzwert. Meine Frage lautet, "auf welche (ablesbare) Form" muss ich die Folge durch Termumformungen bringen, ***UM DANN ERST*** durch n (höchst auftretende Potenz) zu dividieren (Zähler und Nenner). Wenn ich im obigen Beispiel ohne Termumformungen durch n teile (Zähler und Nenner), dann steht im Nenner 1 / n, und wenn ich das gegen unendlich laufen lasse kommt "0" heraus. In diesem Beispiel ist der Grenzwert sogar "0", aber bei anderen Beispielen könnte es eventuell falsch sein. Also mein Problem liegt an dem Punkt -> Knackpunkt/springende Punkt. Wie muss ich die Folge umformen (Termumformungen, ablesbare Form bringen) -- Geniergelenk -- um dann erst durch n (höchst auftrentende Potenz) zu teilen.
Grenzwert mit der Termumformung bestimmen | Mathematik | Funktionen und Analysis - YouTube
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