Anschließend bestimmen wir die innere und die äußere Funktion und bilden jeweils die Ableitung. Diese beiden Ableitungen werden nun miteinander multipliziert. Anschließend wird eine Rück-Substitution durchgeführt. Beispiel 2: y = 2 · sin ( 3x) Substitution: u = 3x Äußere Funktion = 2 · sin(u) Äußere Ableitung = 2 · cos(u) Innere Funktion = 3x y' = 3 · 2 · cos(u) y' = 6 · cos(3x) Auch hier wird die Klammer substituiert. Die innere und äußere Funktion wird ermittelt und jeweils die Ableitung gebildet. Danach wird die innere und die äußere Ableitung miteinander multipliziert und anschließend eine Rücksubstitution durchgeführt. Beispiel 3: y = e 4x + 2 Substitution: u = 4x + 2 Äußere Funktion = e u Äußere Ableitung = e u Innere Funktion = 4x + 2 Innere Ableitung = 4 y' = e u · 4 y' = e 4x + 2 · 4 In diesem Fall wird der Exponent substituiert. Anschließend werden wieder innere und äußere Funktion ermittelt und abgeleitet. Wie immer erfolgt dann die Produktbildung aus innerer mal äußerer Ableitung, gefolgt von der Rücksubstitution.
2014, 21:37 Sinus und Cosinus- Funktionen haben wir leider noch nicht, dies hindert mich aber nicht daran, zumindest die innere und äußere Ableitung einmal zu versuchen. Äußere Ableitung: Innere Ableitung: 10. 2014, 21:40 Nun, du meinst sicher innere bzw. äußere Funktion, die Zuordnung stimmt aber - und ob du die Ableitungen von Sinus und Cosinus kennst, ist im Moment unerheblich. Es geht hier nur darum, dir ein Gefühl dafür zu vermitteln, was innere und äußere Funktionen sind Noch zwei letzte Tests: und. Was sind hier innere/äußere Funktionen? Wenn wir das haben, dann versuchen wir uns an einer konkreten Ableitung, ok? 10. 2014, 21:46 Ups, natürlich meinte ich die Funktion:-) Also, bei ist die äußere Funktion und die innere Funktion: Bei der zweiten bin ich ich mir nicht ganz sicher, versuche es aber mal: äußere Funktion: innere Funktion: 10. 2014, 21:50 Die erste Funktion stimmt richtig erkannt Bei der zweiten ist dem aber nicht so, leider Ob du richtig liegst, kannst du aber ganz einfach überprüfen: du musst in den Ausdruck, den du für die äußere Funktion hältst, einfach für x die innere Funktion einsetzen.
In dem Fall lautet die äußere Funktion: \(g(x)=-sin(x)\) und die innere Funktion lautet: \(h(x)=2x\) Die Ableitung einer verketteten Funktion lautet: \(f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\) Wendet man das an, so erhält man: \(f'(x)=\underbrace{-cos(2x)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\) Als Lösung erhalten wir damit: \(f'(x)=-2\cdot cos(2x)\) Beispiel 2 \(f(x)=-sin(2x+1)\) Wir haben es wieder mit einer verketteten Funktion zu tun daher müssen wir erneut die Kettenregel bei der Ableitung betrachten. \(h(x)=2x+1\) \(f'(x)=\underbrace{-cos(2x+1)}_{g'(h(x))}\cdot \underbrace{2}_{h'(x)}\) \(f'(x)=-2\cdot cos(2x+1)\) Merke Meistens hat man es bei der Ableitung der Minus Sinusfunktion mit einer Verkettung zu tun. Bei der Ableitung einer verketteten Minus Sinusfunktion muss man stets die Kettenregel anwenden. Oft wir die Kettenregel auch als " Äußere mal Innere Ableitung " bezeichnet.
Zugehörige Klassenarbeiten Abiturprüfung Abiturprüfung Analysis A1 2014 NRW GK Die Funktion \(f\) ist gegeben durch \(f(x) =(2-x)\cdot e^x\), \(x\in \mathbb {R}\). Die Graphen der Funktion \(f\) und ihrer Ableitungsfunktion \(f'\) sind in der Abbildung dargestellt. Die Lösungsvorschläge liegen nicht in der Verantwortung des jeweiligen Kultusministeriums. Abiturprüfung Analysis A1 2014 NRW LK Ein Ölfeld wird seit Beginn des Jahres 1990 mit Bohrungen in mehreren Erdöl führenden Schichten erschlossen. Die momentane Förderrate1 aus diesem Ölfeld im Zeitraum von Anfang 1990 bis Ende 2009 kann im Intervall \( [0;20]\) durch die Funktion \(f\) mit der Gleichung \(f(t)=(1020-40t) \cdot e^{0, 1 \cdot t};\quad t \in \mathbb R\) modelliert werden. Dabei wird \(t\) als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr und \( f(t)\) als Maßzahl zur Einheit 1000 Tonnen pro Jahr aufgefasst. Der Zeitpunkt \( t=0\) entspricht dem Beginn des Jahres 1990. Der Graph von \(f\) ist in der Abbildung 1 in dem für die Abiturprüfung Analysis A2 2014 NRW GK In ein Staubecken oberhalb eines Bergdorfes fließt ein Bach.
In diesem Abschnitt befassen wir uns mit dem Ableiten von Funktionen. Dabei zeigen wir euch, wie die Ableitungsregel "Kettenregel" angewendet werden müssen. Bevor wir mit der Kettenregel loslegen, rate ich euch, die vorhergehenden Artikel zur Ableitung zu lesen. Dort wird Grundlagenwissen vermittelt. Wer sich in diesen Bereichen bereits auskennt, kann gleich mit der Ableitungsregel zu Ketten im nächsten Absatz starten: Ableitung: Grundlagen und Steigung Ableitung: Faktorregel und Summenregel Ableitung: Produktregel und Quotientenregel Kettenregel einsetzen Mit den bisherigen Ableitungsregeln ist es möglich, einfache Funktionen abzuleiten. Problematisch wird es jedoch, wenn zusammengesetzte oder gar verschachtelte Funktionen abgeleitet werden müssen. Um Funktionen wie zum Beispiel y = sin ( 5x - 8) oder y = e 4x abzuleiten, muss die Kettenregel eingesetzt werden. Man greift dabei auf eine so genannte Substitution zurück. Was genau es damit auf sich hat, erkläre ich euch noch. Zunächst jedoch ein kleiner Merksatz.
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