Nehmen wir dazu noch einmal unser Beispiel von oben. Beispiel 1 mit Zahlen: Wir nehmen erneut f(x) = 3x 2 - 7x. In die Funktion setzen wir x = 100 ein und x = 1000. Wie man an den Ergebnissen von 29300 und 2993000 sehen kann, wächst das Ergebnis mit steigendem x stark an. Dies würde auch passieren, wenn man -100 oder -1000 einsetzen würde. Beispiel 2 ganzrationale Funktion: Wie sieht das Verhalten der Funktion f(x) = -2x 3 +2x 2 gegen plus unendlich und minus unendlich aus? Wie auch bei anderen ganzrationalen Funktionen werfen wir einen Blick auf die höchste Potenz, in diesem Fall -2x 3. Setzen wir für x große Zahlen ein wächst x 3 stark an. Das Minuszeichen am Anfang sorgt jedoch dafür das alle Zahlen negativ werden, daher geht das Ergebnis gegen minus unendlich. Setzen wir hingegen negative Zahlen ein dreht sich das Verhalten um. Beispiel -2 · (-10)(-10)(-10) = -2 · (-1000) = + 2000. Das heißt das Ergebnis wächst positiv ins Unendliche. Aufgaben / Übungen Verhalten im Unendlichen Anzeigen: Video Verhalten im Unendlichen Beispiele und Erklärungen Im nächsten Video wird das Verhalten von Funktionen bzw. Gleichungen gegen plus und minus unendlich behandelt, also den Grenzwert.
Symmetrie Hauptkapitel: Symmetrieverhalten Wir setzen $-x$ in die Funktion $$ f(x) = (x+1) \cdot e^{-x} $$ ein und erhalten: $$ f({\color{red}-x}) = ({\color{red}-x}+1) \cdot e^{-({\color{red}-x})} = (-x+1) \cdot e^{x} $$ Danach analysieren wir das Ergebnis: $$ (-x+1) \cdot e^{x} \neq f(x) $$ $$ (-x+1) \cdot e^{x} \neq -f(x) $$ $\Rightarrow$ Die Funktion ist weder zur $y$ -Achse noch zum Ursprung symmetrisch. Extrempunkte Hauptkapitel: Extremwerte berechnen 1) Nullstellen der 1. Ableitung berechnen 1. 1) Funktionsgleichung der 1. Ableitung gleich Null setzen $$ -x \cdot e^{-x}= 0 $$ 1. 2) Gleichung lösen Der Satz vom Nullprodukt besagt: Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Faktor $$ -x = 0 $$ $$ \Rightarrow x = 0 $$ 2. Faktor $$ e^{-x} = 0 $$ Eine Exponentialfunktion besitzt keine Nullstellen. 2) Nullstellen der 1. Ableitung in die 2. Ableitung einsetzen Nun setzen wir den berechneten Wert in die 2. Ableitung $$ f''(x) = (x-1) \cdot e^{-x} $$ ein, um die Art des Extrempunktes herauszufinden: $$ f''({\color{red}x_1}) = f''({\color{red}0}) = ({\color{red}0} - 1) \cdot e^{-{\color{red}0}} = -1 \cdot 1 = -1 < 0 $$ Wir wissen jetzt, dass an der Stelle $x_1$ ein Hochpunkt vorliegt.
Geht zum Besipiel der erste Summand gegen a und der zweite gegen b, so geht f(x) gegen a+b. Sofern dabei ∞ auftritt, beachte folgende Regeln (in Anführungszeichen schreiben! ): "c + ∞" = ∞ "c + (-∞)" = -∞ Soll heißen: Wenn ein Summand gegen c geht und der andere gegen ∞, dann geht f(x) gegen ∞. Zweite Zeile analog. Genauso kann man bei Differenzen, Produkten und Quotienten verfahren. Beachte im Zusammenhang mit ∞ die Regeln: "c − ∞" = -∞ "∞ − c" = ∞ "c · ∞" = ±∞ [+ wenn c positiv; − wenn c negativ] "∞: c" = ±∞ [+ wenn c positiv; − wenn c negativ] "c: ∞" = 0 KEINE Regel gibt es für folgende Fälle. Hier muss man den Term evtl. umformen, um den Limes richtig zu ermitteln: "∞ − ∞" =? "∞: ∞" =? "0 · ∞" =?
Ist die Funktionsgleichung von von der Form und gilt so hat eine schiefe Asymptote mit der Gleichung. Im Fall hat eine schiefe Asymptote. Um die Gleichung der Asymptote zu bestimmen, führt man eine Polynomdivision (Zähler durch Nenner) durch. Der Teil vor dem Rest beschreibt die Gleichung der schiefen Asymptote von. Aufgaben Aufgabe 1 - Schwierigkeitsgrad: Warum sind die Nullstellen des Zählers keine Nullstellen der Funktion, wenn sie auch Nullstellen des Nenners sind? Was bedeutet das für die Suche nach Extrem- bzw. Wendestellen? Lösung zu Aufgabe 1 Die Division durch 0 ist nicht erlaubt. Nullstellen des Nenners sind daher Definitionslücken. Bei der Bestimmung von Extrem- bzw. Wendestellen einer gebrochenrationalen Funktion setzt man bzw.. Es muss überprüft werden, ob die Lösungen dieser Gleichung im Definitionsbereich sind, d. h. keine Nullstellen des Nenners sind. Aufgabe 2 Die Funktion ist gegeben durch Welche der folgenden Aussagen ist wahr? Die Funktion hat eine Definitionslücke bei.
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Serviceleistung Für die Fahrradfahrer sind auf dem Campus drei Service-Stationen installiert. Diese Fahrrad-Pump-Stationen mit vielfältigem Werkzeug finden Sie: - vor dem Haupteingang des Klinikum Ernst von Bergmann in der Charlottenstraße (am Fuße der Treppe/Haupteingang) - vor der Poliklinik, Zugang über die Hebbelstraße - auf dem Campus für die Mitarbeiter, hinter dem Gebäude BB Anfahrt aus allen Richtungen: Berliner Ring: A10, Abfahrt "Potsdam Nord", auf die B273 bis "Potsdam Zentrum" Über Dreieck Nuthetal: A115 bis Abfahrt "Potsdam-Babelsberg", dann Richtung "Potsdam-Zentrum" Anfahrt in Potsdam Aus Berlin (Wannsee): Glienicker Brücke bis Berliner Str. Aus Norden: B273 über Hegelallee, Kurfürstenstr. und Hebbelstr. Bergmannstraße 72 berlin berlin. Aus Westen (Brandenburg / Werder): B1 Vom Dreieck Nuthetal über Nutheschnellstr. / Humboldbrücke bis Berliner Str. Haupteingang: Charlottenstrasse 72 Zufahrt Parkplatz Gesundheitspark: Gutenbergstrasse Anschrift: Klinikum Ernst von Bergmann Klinik für Psychiatrie, Psychotherapie und Psychosomatik In der Aue 59 - 61 14480 Potsdam Anfahrt Außenstandort "In der Aue": Abfahrt "Neuendorfer Str. "