Beispiel 3 Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen $2\ \textrm{cm}$, $5\ \textrm{cm}$ und $3\ \textrm{cm}$. Überprüfe mithilfe des Satzes des Pythagoras, ob es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt. Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt: $$ 2^2 + 3^2 = 5^2 $$ $$ 4 + 9 = 25 $$ $$ 13 = 25 $$ Da der Satz des Pythagoras zu einem falschen Ergebnis führt, ist das Dreieck nicht rechtwinklig. Beispiel 4 Gegeben sei ein Dreieck mit den Seitenlängen $12\ \textrm{cm}$, $13\ \textrm{cm}$ und $5\ \textrm{cm}$. Wenn das Dreieck rechtwinklig ist, so gilt: $$ 5^2 + 12^2 = 13^2 $$ $$ 25 + 144 = 169 $$ $$ 169 = 169 $$ Da der Satz des Pythagoras zu einem wahren Ergebnis führt, ist das Dreieck rechtwinklig. Zurück Vorheriges Kapitel Weiter Nächstes Kapitel
Satz des Pythagoras Mathematik - 8. Klasse Satz des Pythagoras
(je nach Schulform und Bundesland) Mathematik Aufgabenblätter und Klassenarbeiten zum Satz des Pythagoras, Höhensatz und Kathetensatz Inhalt: 1 Übungsblatt zum Höhensatz (30 minuten) 1 Arbeitsblatt zum Satz des Pythagoras 1 Klassenarbeit über Pythagoras, Kathetensatz, Höhensatz Aufgabenblatt Pythagoras und Höhensatz (30 Minuten) Aufgabenblatt 5: Phythagoras 5, Höhensatz (30 Min. ) Aufgabenblatt Pythagoras (30 Minuten) Aufgabenblatt 6: Phythagoras 6, Aufgabenblatt (30 Min. ) Klassenarbeit Pythagoras, Höhensatz, Kathetensatz (45 Minuten) Aufgabenblatt 7: Phythagoras Klassenarbeit (45 Min. ) Mit Textaufgabe: Ihr seid mit dem Campingmobil unterwegs in den Urlaub. Das Navi schlägt wegen eines Staus einen Umweg vor, kennt aber nicht die Höhe von 2, 70 m und die Breite von 2 m von eurem Fahrzeug. Plötzlich taucht ein Tunnel auf, dessen Höhe nicht gekennzeichnet ist. Der Querschnitt ist halbkreisförmig. Zum Glück könnt ihr die Abmessungen wie im Bild ausmessen. Aufgrund des starken Gegenverkehrs könnt ihr jedoch nicht die gesamte Breite des Tunnels ausnutzen und in der Mitte hindurch fahren.
In der 5. oder 6. Klasse hast du dich wahrscheinlich zum ersten Mal mit Flächen auseinandergesetzt. Schauen wir uns dazu ein kleines Beispiel an. Von einer Länge zu einer Fläche Wenn du auf einem karierten Blatt Papier ein Quadrat mit der Seitenlänge $4\ \textrm{cm}$ zeichnest, dann ist die umrandete Fläche $16\ \textrm{cm}^2$ groß. Rechnerisch: $$ 4\ \textrm{cm} \cdot 4\ \textrm{cm} = 16\ \textrm{cm}^2 $$ Mit diesem Wissen aus der Unterstufe können wir uns $a^2$, $b^2$ und $c^2$ schon besser vorstellen. Es handelt sich offenbar um drei Quadrate mit den Seitenlängen $a$, $b$ und $c$. In der folgenden Abbildung versuchen wir die beiden Kathetenquadrate sowie das Hypotenusenquadrat zu veranschaulichen: Die Kathetenquadrate erhalten wir, indem wir die Seiten $a$ und $b$ als Seitenlänge eines Quadrates interpretieren. Das Hypotenusenquadrat erhalten wir, indem wir die Hypotenuse (Seite $c$) als Seitenlänge eines Quadrates interpretieren. Laut Pythagoras gilt: $$ {\color{green}a^2} + {\color{blue}b^2} = {\color{red}c^2} $$ Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Kathetenquadrate (d. h. die Summe der grünen und blauen Fläche) genauso groß sind wie das Hypotenusenquadrat (rote Fläche).
Wenn du bis hierhin alles verstanden hast, dann denkst du dir wahrscheinlich gerade: Längen, Flächen, Dreiecke…alles schön und gut, aber was bringt mir der Satz des Pythagoras?. Wie du im nächsten Abschnitt sehen wirst, gibt es zahlreiche Fragestellungen, bei denen sich der Satz des Pythagoras als äußerst nützlich erweist. Anwendungen Dritte Seite berechnen Ist die Länge zweier Seiten gegeben, so hilft der Satz des Pythagoras dabei, die Länge der dritten Seite zu finden. Dazu müssen wir den Satz des Pythagoras nach der gesuchten Seite auflösen. Da ein Dreieck drei Seiten hat, gibt es drei Formeln: Beispiel 1 Gegeben sind die Längen der Katheten $a$ und $b$ eines rechtwinkligen Dreiecks: $$ a = 3\ \textrm{LE} $$ $$ b = 4\ \textrm{LE} $$ Berechne die Länge der Hypotenuse $c$. Formel aufschreiben $$ c = \sqrt{a^2 + b^2} $$ Werte für $\boldsymbol{a}$ und $\boldsymbol{b}$ einsetzen $$ \phantom{c} = \sqrt{3^2 + 4^2} $$ Ergebnis berechnen $$ \begin{align*} \phantom{c} &= \sqrt{9 + 16} \\[5px] &= \sqrt{25} \\[5px] &= 5 \end{align*} $$ Die Hypotenuse hat eine Länge von $5$ Längeneinheiten.
Ihr müsst auf eurer Seite bleiben. Kann der Lastwagen hindurch fahren? Erstelle hierzu eine Skizze der Situation und rechne die maximale Durchfahrhöhe aus!
Welche Note brauch ich, um von der 6 runterzukommen? Hallo erstmal! :D Ich stecke zurzeit ziemlich in der Klemme... Ich besuche eine Mittelschule in München (Bayern) und stehe im Fach "Mathe" auf der Note 6. Im ersten Halbjahr hatte ich eine 3 in Mathe, doch im 2. Halbjahr haben wir einen (EINEN! ) Mathe-Test geschrieben, bei dem ich ziemlich verkackt habe. :( Habe dort eine Note 6 bekommen und als ob das nicht reichen würde, warf mir mein Lehrer noch eine Note 5, aufgrund meiner mündlichen Leistungen, hinterher. Ich will nicht sagen, dass es unverdient war, ich würde sogar sagen, dass ich eher eine Note 7 verdient hätte (also wenn es eine gäbe... ). Wir werden morgen den letzten Mathe-Test in diesem Schuljahr schreiben. D. h. ich muss unbedingt von dieser Note 6 runter! Wenigstens auf 'ne 5. Nun zu meiner eigentlichen Frage: Welche Note müsste ich denn im bevorstehenden Test schreiben, um von der Note 6 runterzukommen? Ich bedanke mich im Voraus. :)
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