Kurzbeschreibung: Tangente von außen oder Tangente von außerhalb liegt vor, wenn der Berührpunkt der Tangente (oder Normale) NICHT gegeben ist. Dafür kennt man einen anderen Punkt, der auf der Tangente liegt. Vorgehensweise: man verwendet die Tangentenformel, setzt die Koordinaten dieses anderen Punktes für x und y ein und erhält nun eine Gleichung mit nur noch einer einzigen Unbekannten ("u"). Nun löst man die Gleichung nach "u" auf (welches der x-Wert des Berührpunktes ist). Nun hat man den Berührpunkt (oder mehrere) und kann ggf. in diesen Punkten wieder die Tangenten aufstellen. Schlagworte (frei): Tangente von außen; Tangente von außerhalb Lernressourcentyp: video Bildungsbereich: compulsory education; vocational education; Hochschulbildung; continuing education; Lehrerfort- und Weiterbildung Nutzergruppe: learner; teacher Typisches Lernalter: 16-18
Inhalt dieses Artikels ist die Berechnung von Parabeltangenten durch eine Schnittbedingung, die Berechnung mithilfe der Ableitung, eine Konstruktion von Parabeltangenten, ein Hinweis auf die Bedeutung von Tangenten im Alltag. Eine Tangente (von lateinisch " tangere " = " berühren ") an eine Parabel ist eine Gerade mit zwei kennzeichnenden Eigenschaften: sie ist nicht zur y-Achse parallel und hat mit der Parabel als Schnittbedingung genau einen Punkt ( Berührpunkt) gemeinsam. ihre Steigung ist der Ableitungswert der Parabel im Berührpunkt. Berechnung von Parabeltangenten durch die Schnittbedingung Beispiel Berechne die Tangente an die Parabel p: y = 0, 5 ( x − 3) 2 + 1 p:y\;=\;0{, }5(x-3)^2+1 im Kurvenpunkt A ( 4 ∣ 1, 5) A(4\vert1{, }5). Vorbereitungen: Überzeuge dich durch Einsetzen seiner Koordinaten in die Parabelgleichung, dass der Punkt A auf der Parabel liegt. Die gesuchte Gerade heiße g: y = m x + t g: y = mx + t. Ihre Steigung m m und ihr y-Achsenabschnitt t t sind noch unbekannte Parameter.
Koordinate des Berührpunktes B 2 B_2 zu erhalten. Tangente: Tangente: Berührpunkte gerundet: B 1 ( − 1, 73 ∣ − 0, 73) B_1(-1{, }73\vert-0{, }73) gerundet: B 2 ( 1, 73 ∣ 2, 73) B_2(1{, }73\vert2{, }73) Die Konstruktion von Parabeltangenten Unter einer Konstruktion versteht man das Zeichnen eines geometrischen Objektes ( Strecke, Gerade, Lot, Parallele, Winkel etc. ) mithilfe von Zirkel und Lineal. Oft ist auch ein Geodreieck zugelassen. Bekannt ist die Konstruktion der Tangente an einen Kreis. Man erhält sie als Lot auf den Radius im Berührpunkt. So konstruiert man die Tangente an eine Parabel im Berührpunkt P P: Wähle zwei weitere Parabelpunkte A A und B B so, dass P P hinsichtlich der x-Koordinaten der drei Punkte Mittelpunkt ist. Das heißt, es gilt: Die Parallele zur Geraden A B AB durch den Berührpunkt P P ist die gesuchte Tangente. a > 0 a>0 ist ein beliebiger Wert. Überzeuge dich anhand des Applets von der Tangentenkonstruktion. Du kannst den Berührpunkt verschieben und für a a verschiedene Werte wählen.
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Um noch das c zu bestimmen, brauchen wir einen Punkt, den wir in die Gleichung einsetzen können. Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 2 ⋅ + 16 ⋅ 2 ⋅ ( - 125) + 16 ⋅ 25 - 250 + 400 147 Wir erhalten so also den Punkt B( | 147) als Berührpunkt. Nun setzt man die errechnete Ableitung und die errechneten Punktkoordinaten in eine allgemeine Geradengleichung (y=mx+c) ein: ⋅ + c 45 + c | - 45 102 = c also c= Damit erhält man als Geradengleichung für die Tangente: y= ⋅x + An der Stelle x= 0: m = f'( 0) = + 32 ⋅ 0 6 ⋅ 0 0 + 0 Dazu müssen wir noch den y-Wert des Berührpunkts bestimmen, also f( 0) = 2 ⋅ 0 + 16 ⋅ 0 0 + 0 + 0 Wir erhalten so also den Punkt B( 0 | 2) als Berührpunkt. ⋅ 0 + c = 0 + c 16: 16) = + 32 ⋅ 16 6 ⋅ 256 + 512 1 536 2 049 2 ⋅ 4 096 + 16 ⋅ 256 8 192 + 4 096 12 306 12 306) als Berührpunkt. 32 784 - 32784 - 20 478 ⋅x - 20 478
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