Autor Nachricht nEmai Anmeldungsdatum: 08. 03. 2011 Beiträge: 42 nEmai Verfasst am: 08. März 2011 17:38 Titel: Trägheitsmoment Zylinder, quer Hallo, es geht darum, das Trägheitsmoment eines Vollzylinders bei Rotation quer zur Symmetrieachse zu berechnen. Für einen dünnen, langen Zylinder kann man es annähren mit 1/12ml^2, ich will jedoch das "echte" Trägheitsmoment 1/12ml^2+1/4mr^2 herleiten. Es gilt: mit und also: Das Ergebnis ist hier jedoch: Was an dem Ansatz ist also falsch?? Mfg. Packo Gast Packo Verfasst am: 08. Formeln & Herleitung für Massen-Trägheitsmomente - DI Strommer. März 2011 20:30 Titel: Ein Zylinder hat viele Achsen, quer zur Symmetrieachse. Welche Symmetrieachse ist gemeint? Was bedeutet quer? Ein Trägheitsmoment wird immer auf eine Achse bezogen. Es ändert sich nicht - egal ob der Zylinder rotiert oder nicht. Wie kann denn sein? nEmai Verfasst am: 08. März 2011 20:53 Titel: Hi, ich meinte natürlich durch den Mittelpunkt, 90° zur Symmetrieachse, tut mir Leid. So, nur mit einem Zylinder: Das zweitgenannte is meiner Schlampigkeit geschuldet, da fehlen Indizes.
Da wir wissen, dass die gewünschte Rotationsachse quer verläuft, müssen wir den Satz der senkrechten Achse anwenden, der besagt: Das Trägheitsmoment um eine Achse, die senkrecht zur Ebene der beiden verbleibenden Achsen steht, ist die Summe der Trägheitsmomente um diese beiden senkrechten Achsen durch denselben Punkt in der Ebene des Objekts. Es folgt dem #dI_z=dI_x+dI_y#..... Trägheitsmoment einer Hantel - Anleitung. (3) Auch aus der Symmetrie sehen wir das Trägheitsmoment etwa #x# Achse muss gleich Trägheitsmoment sein #y# Achse. #:. dI_x=dI_y#...... (4) Durch Kombination der Gleichungen (3) und (4) erhalten wir #dI_x=(dI_z)/2#, Ersetzen #I_z# von (2) bekommen wir #dI_x=1/2xx1/2dmR^2# or #dI_x=1/4dmR^2# Lassen Sie die infinitesimale Scheibe in einiger Entfernung liegen #z# vom Ursprung, der mit dem Schwerpunkt zusammenfällt. Nun verwenden wir den Satz der parallelen Achse über die #x# Achse, die besagt: Das Trägheitsmoment um eine Achse parallel zu dieser Achse durch den Schwerpunkt ist gegeben durch #I_"Parallel axis"=I_"Center of Mass"+"Mass"times"d^2# woher #d# Abstand der parallelen Achse vom Schwerpunkt.
Genauso kann statt über das Volumen, auch über die Masse integriert werden. Massenträgheitsmoment Punktmasse Das Integral für das Inertialmoment lässt sich im Falle einer rotieren Punktmasse vereinfachen. Die Masse des Massenpunktes ist und der Abstand des Punktes von der Drehachse, was nichts anderes als der Radius ist. Im Falle von mehreren angegeben Punkten, kannst du die Formel über diese aufsummieren. Das ist möglich, da Trägheitsmomente, die sich auf dieselbe Rotationsachse beziehen aufaddiert werden können. Rotation um Symmetrieachse Im Nachfolgenden werden nur rotationssymmmetrische Körper betrachtet, die um eine ihrer Symmetrieachsen rotieren. Falls dies der Fall ist, kann das Massenträgheitsmoment mit der Hilfe von Zylinderkoordinaten bestimmt werden. Auch zu diesen Koordinaten findest du alle Informationen in unserem zugehörigen Beitrag. Die Rotationsachse wird hierbei als z-Achse bezeichnet. (Hohl)Zylinder - Trägheitsmoment - Herleitung. Im nächsten Schritt muss das Volumenintegral an die Koordinaten angepasst werden. Das Volumenelement ergibt nun: Mit der Annahme, dass es sich um einen Körper mit homogener Massenverteilung handelt, kannst du das noch als Konstante vor das Integral ziehen.
5: Zylinder Für einen Zylinder der Höhe und der Masse erhält man () Die Integration kann leicht in Zylinderkoordinaten ausgeführt werden Das Trägheitsmoment eines Zylinders lässt sich also mit einem Stapel von kreisförmig-en Scheiben der Dicke vergleichen. Für das Trägheitsmoment bezogen auf eine Drehachse senkrecht zur z-Achse erhält man und mit dann Offenbar zeichnen sich die gewählten Achsen als Symmetrieachsen des Zylinders aus. In diesem Fall gilt für ein beliebiges Deviationsmoment (z. B. ) schließlich Wir werden sehen, dass die Deviationsmomente für eine Drehachse, die gleichzeitig eine Symmetrieachse des Körpers ist, immer verschwinden. In diesem Fall ist der Trägheitstensor diagonal (Bezüglich der Symmetrieachse des Zylinders). (iv) Homogene Kugel Abbildung 7. 6: Kugel Zur Berechnung des Trägheitsmoments einer Kugel mit Radius und Masse wählt man Kugelkoordinaten mit Aus Symmetriegründen sind die Trägheitsmomente alle gleich, d. h. es gilt exemplarisch (v) Homogener Quader Abbildung 7.
Mit diesen Näherungen ergibt sich für das Trägheitsmoment einer Hantel I = 2m * r². Beachten Sie, dass zwei Massen zum Drehen gebracht werden. Bei einer Masse m = 0, 5 kg und einem Abstand r = 0, 2 m von der Drehachse erhalten Sie I = 1 kg * (0, 2 m)² = 0, 04 kgm². Zum Vergleich: In der gleichen Größenordnung liegen die Trägheitsmomente von Spielzeugkreiseln, wenn sich diese um ihre Drehachse rotieren. Wie hilfreich finden Sie diesen Artikel? Verwandte Artikel Redaktionstipp: Hilfreiche Videos 3:16 2:38 Wohlfühlen in der Schule Fachgebiete im Überblick
Frequenz Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer: Auflösen nach $T$ und in die Schwingungsdauer einsetzen ergibt dann die Gleichung für die Frequenz eines Federpendels: Methode Hier klicken zum Ausklappen $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{l \cdot m \cdot g}{J}}$ Schwingungsfrequenz eines physikalischen Pendels Die Schwingungsfrequenz $f$ des Pendels gibt die Anzahl an Schwingungsvorgängen je Sekunde an. Wir sind hier davon ausgegangen, dass der Körper aus seiner Ruhelage angestoßen wird. Dann ist die Sinus-Funktion zur Beschreibung der Bewegung besser geeignet (wie hier gezeigt). Die Cosinus-Funktion hingegen eignet sich als Ansatz, wenn die Bewegung des Körpers nicht in der Ruhelage beginnt. Für die obigen Gleichungen ändert sich aber nichts, weil beide auf dasselbe Ergebnis für Eigenfrequenz, Schwingungsdauer und Schwingungsfrequenz führen. Für die späteren Bewegungsgleichungen hingegen muss unterschieden werden zwischen Sinus und Cosinus.
Ein physikalisches Pendel ist ein theoretisches Modell zur Beschreibung der Schwingung eines realen Pendels. Im Gegensatz zum mathematischen Pendel (Fadenpendel aus dem vorherigen Abschnitt) wird bei einem physikalischen Pendel die Größe und Form des Körpers mitberücksichtigt. Ein beliebig drehbar gelagerter Körper führt dann harmonische Schwingungsbewegungen aus, wenn nur minimale Auslenkungen vorliegen und der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann. Physikalisches Pendel Wir betrachten die obige Grafik und befinden uns in der $y, z$-Ebene. Der Stab ist an einer Aufhängung befestigt, hängt also vertikal nach unten (in der Ruhelage). Diese Aufhängung stellt auch gleichzeitig den Drehpunkt bzw. die Drehachse dar. Die Drehachse kann man sich aus der Grafik herauskommend vorstellen ($x$-Richtung). Der Winkel $\varphi$ beschreibt die Auslenkung des Stabes in Bezug auf die Ruhelage. Die Gewichtskraft $F_G$ des Stabes ist vertikal nach unten gerichtet und greift im Schwerpunkt des Stabs an.
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