"Im Alter von neun Jahren verblüfft Carl Friedrich Gauß seinen Mathematiklehrer. Gerade ist er in die Rechenklasse eingetreten, soll er wie seine Mitschüler alle Zahlen von eins bis hundert zusammenzählen. Normalerweise ist die ganze Klasse damit auf Stunden beschäftigt. Gauß hingegen wirft die Schreibtafel mit der Lösung nach wenigen Minuten aufs Pult. Statt die arithmetische Reihe brav zu addieren, hat er einfach eine Formel für sie entwickelt. Unter Mathematikern ist diese heute als "der kleine Gauß" oder "die Gaußsche Summenformel" bekannt. Wussten Sie schon, dass die Summe der Zahlen von 1 bis 100... - dasinternet.net. Gauß wird am 30. April 1777 als Sohn eines Maurermeisters und einer ehemaligen Dienstmagd in Braunschweig geboren. Später wird er behaupten, zuerst rechnen und dann erst sprechen gelernt zu haben. Zeitgenossen werden über ihn die Anekdote erzählen, dass er seinen Vater bereits als Dreijähriger auf Fehler in den Gehaltsabrechnungen für dessen Arbeiter hingewiesen habe. Da ist Gauß bereits eine Gelehrtengröße, die sich als Mathematiker, Astronom, Landvermesser und Physiker gleichermaßen einen Namen gemacht hat.
Wollen wir von da aus den Rest bei Teilen durch 3 nicht verändern, so müssen wir eine Zahl hinzufügen, die selbst durch 3 teilbar ist. Die nächste, bisher ungenutzte, Zahl ist n+2. Es ist n*(n+1)/2+n+2 = 0, 5n 2 +0, 5n+n+2 = 0, 5n 2 +1, 5n+2. Setzen wir in die erwartete Formel n+1 für n ein, so erhalten wir 0, 5(n+1) 2 +0, 5(n+1)+1 = 0, 5n 2 +n+0, 5+0, 5n+0, 5+1 = 0, 5n 2 +1, 5n+2 - genau das gleiche, passt also. Fall 2: n=2 mod 3: (-> n+1=0 mod 3) Ist n=2 mod 3, so ist die Summe so aufgebaut wie in Fall 1: Erst alle Zahlen bis n-1 (denn n-1=1 mod 3), dann noch n+1 dazu (weil n+1=0 mod 3). Um wieder nichts am Rest beim Teilen durch 3 zu ändern, müssen wir die letzten Summanden so abändern, dass sie wieder durch 3 teilbar sind. Ist n=2 mod 3, so ist n+n+2=0 mod 3. Daher können wir die Summe aus einem Summanden mehr so aufbauen: Erst die ersten n-1 Zahlen (hat Rest 1), dann noch n+n+2 dazu (hat Rest 0, ändert also nichts am Rest 1 der Gesamtsumme). Der Wert der Summe ist dann die Gauß-Formel für n-1 plus n+n+2: (n-1)*n/2+n+n+2 = 0, 5n 2 -0, 5n+2n+2 = 0, 5n 2 +1, 5n+2.
Was ist die Summe von 1 bis 10? Die Summanden sind die Zahlen jeweils vor und nach dem Plus-Zeichen. Die Summe ist also das Ergebnis, das man erhält, wenn man zwei Summanden addiert. Bildet man die Summe der Zahlen 0 bis 10 so erhält man: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55. Was gehört zu den natürlichen Zahlen? Die natürlichen Zahlen sind alle Zahlen, die du zum Zählen verwendest, also 1, 2, 3, 4, 5, 6, … Zur Menge der natürlichen Zahlen gehören somit nur positive ganze Zahlen. Negative Zahlen, Brüche und Kommazahlen wie -1, ½ oder 0, 5 zählst du nicht dazu. Ist 1. 5 eine natürliche Zahl? Die Natürliche Zahlen ℕ sind eine Menge, zu der alle Zahlen gehören, die wir zum Zählen benutzen. Das heißt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 usw. Wichtig ist, dass dies nur die ganzen Zahlen, anders gesagt, nur die vollständigen, positiven Zahlen sind. Kommazahlen, negative Zahlen oder Brüche gehören nicht dazu. Welche 5 Zahlen ergeben 100? 1 + 6 + 8 + 9 + 20 + 37 + 45 = 100. 1 + 6 + 8 + 9 + 24 + 43 + 53 = 144.
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