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Beispiel: 6 4: 3 4 = ( 6: 3) 4 = 2 4 = 16 In Langform schreibst du ( 6: 3) · ( 6: 3) · ( 6: 3) · ( 6: 3) = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 Potenzregeln gleicher Exponent – Division Dividierst du Potenzen mit gleichem Exponenten, teilst du die Basen und lässt den Exponenten als gemeinsame Hochzahl stehen. Beispiel: 12 5: 3 5 = ( 12: 3) 5 = 4 5 = 1. 024 allgemein: a n: b n = ( a: b) n
Und noch eine zeitsparende Regel Wenn du Potenzen mit verschiedenen Basen, aber gleichem Exponenten, malnehmen willst, kannst du sie erst einmal als Produkte schreiben, die Faktoren neu sortieren und dann das Ganze wieder als Potenz schreiben. $$2^2*3^2 = 2 * 2* 3*3=2*3*2*3=(2*3)*(2*3)$$ $$=6*6=6^2 $$ └────────────────┘ └────────┘ Reihenfolge vertauschen klammern Es geht aber auch schneller: Du kannst die Gleichheit bestätigen: $$2^2*3^2=4*9=36$$ und $$6^2=6*6=36$$ Das geht natürlich auch für Variable: $$x^3*y^3 = x*x*x* y*y*y=x*y*x*y*x*y$$ └─────────────────────────┘ Reihenfolge vertauschen $$=(x*y)*(x*y)*(x*y)$$ $$=(x*y)^3$$ └──────────────┘ klammern Oder einfach: $$x^3*y^3=(x*y)^3$$ 2. Potenzgesetz - Teil 1 Willst du Potenzen mit gleichem Exponenten multiplizieren, multipliziere die Basen und behalte den Exponenten unverändert bei. $$a^n*b^n=(a*b)^n$$ Und mit Brüchen Auch beim 2. Potenzgesetz erhältst du eine Regel für die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten. $$2^2:3^2 =2^2/3^2=(2*2)/(3*3)=2/3*2/3=(2/3)^2 $$ Oder einfach: $$2^2:3^2 =2^2/3^2=(2/3)^2 $$ Du kannst die Gleichheit bestätigen: $$2^2:3^2 =2^2/3^2=4/9 $$ und $$(2/3)^2 =2/3*2/3=4/9$$ Für Variable geht's genauso: $$x^3:y^3 = x^3/y^3=(x*x*x)/(y*y*y)=x/y*x/y*x/y=(x/y)^3$$ Oder einfach: $$x^3:y^3=x^3/y^3=(x/y)^3$$ 2.
Nun hast du eine detaillierte Übersicht darüber bekommen, wie du mit Potenzen mit gleichen Exponenten rechnen kannst. Zur Vertiefung dieses Wissens, teste dich in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Multiplikation gleicher Exponent Weil 2 3 und 4 3 beide eine Drei als Exponent haben, multiplizierst du zuerst die beiden Zahlen und rechnest dann hoch 3. Beispiele fürs Potenzen vereinfachen (Mulitplikation): Auch hier kannst du das Potenzgesetz allgemein darstellen: Potenzen multiplizieren — gleicher Exponent Wenn du Potenzen mit gleichem Exponenten mal nimmst, multiplizierst du zunächst die beiden Basen. Der Exponent ändert sich nicht. Division gleicher Exponent Genauso kannst du bei 4 3: 2 3 erst die beiden Basiszahlen dividieren und dann das Ergebnis hoch 3 rechnen. Beispiele für Potenzen vereinfachen (Division): Potenzen dividieren — gleicher Exponent Bei einer Division mit gleichem Exponenten berechnest du zuerst die neue Basis. Den Exponenten lässt du stehen. Negative Potenzen / Negative Basis im Video zur Stelle im Video springen (03:12) Wenn du beim Rechnen mit Potenzen eine negative Zahl in der Basis hast, kommt es stark auf die Schreibweise an. – 5 2 = – (5 · 5) = – 25 (-5) 2 = (-5) · (-5) = + 25 Es ist also besonders wichtig, dass du alle Klammern mit aufschreibst, wenn negative Potenzen vorkommen.
Somit geht die Funktion für Werte größer 1 und kleiner -1 ins Unendliche. Potenzreihen Beispiele Sehen wir uns doch an dieser Stelle mal ein Beispiel an: Alternativ könnten wir die Potenzreihe auch so schreiben: Für diese Potenzreihe p wollen wir den Konvergenzradius bestimmen und nehmen dafür das Quotientenkriterium. Dann setzen wir und ein. Nach dem umformen sieht der Term folgendermaßen aus. Aufgrund der Betragsstriche fallen die Vorfaktoren und weg. Die Betragsstriche können ebenfalls weggelassen werden. Der Grenzwert ist somit 1. Nun musst du die Randpunkte -1 und 1 untersuchen: Potenzreihen Beispiele: Randpunkt -1 Setze in die Potenzreihe ein und fasse es mit dem anderen Faktor zusammen. ergibt 1. Es ergibt sich die harmonische Reihe. Die ist bekanntlich divergent. Jetzt musst du noch einsetzen. Potenzreihen Beispiele: Randpunkt 1 Du kannst einfach weglassen. Jetzt ziehen wir noch den Vorfaktor -1 aus der Summe, um den Grenzwert besser bestimmen zu können. Es ergibt sich dann die alternierende harmonische Reihe.
Potenzreihen Konvergenzradius Man kann beim Quotientenkriterium auch einfach den Grenzwert des Kehrwerts bilden, um den Konvergenzradius zu bestimmen. Potenzreihe Konvergenz Nachdem man den Konvergenzradius ermittelt hat, kann man daher Folgendes über die Konvergenz der Potenzreihe aussagen: Die Potenzreihe ist Die Randpunkte sind kritische Punkte und du musst sie gesondert untersuchen. Die Menge aller x, für die die Potenzreihe konvergiert, heißt Konvergenzbereich. Konvergenzbereich Potenzreihen Betrachten wir hierzu noch eine Grafik. Wie aus der Funktionsgleichung erkennbar ist, ist die Potenzreihe für parabelförmig. Mit steigendem nähert sich die Potenzfunktion der Form an, die du oben in der Grafik auf der rechten Seite siehst. Eine Potenzreihe ist auf ihrem Konvergenzbereich konvergent, also hat die Reihe hier eine Grenzfunktion, im Beispiel ist diese Null. Dadurch siehst du, dass die Funktion im Bereich zwischen -1 und 1 dagegen konvergiert. Außerhalb des Konvergenzbereichs ist sie divergent.