Um überhaupt in Frage zu kommen, muss zuerst das notwendige Kriterium erfüllt werden. Ist diese Bedingung erfüllt, muss noch zusätzlich das hinreichende Kriterium überprüft werden. Erfüllt ein Punkt beides, kann mit Sicherheit gesagt werden, dass es sich dabei um einen Hoch-, Tief-, Wende- oder Sattelpunkt handelt. Die folgenden Kriterien gehören üblicherweise zu einer Kurvendiskussion, die Reihenfolge kann allerdings abweichen: 1. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen Häufig wird dieser Punkt auch als "Finden der Nullstellen" bezeichnet, allerdings ist diese Beschreibung falsch. Kurvendiskussion merkblatt pdf download. Bei einer Kurvendiskussion sollten nämlich nicht nur die Schnittstellen mit der x -Achse (Nullstellen) abgefragt werden, sondern auch der Schnittpunkt mit der y -Achse ( y -Achsenabschnitt). Nehmen wir als Beispiel die Funktion. Um die Nullstellen zu finden, setzen wir f ( x)=0 Periodische Funktion mit unendlich vielen Schnittstellen Ganzrationale Funktion mit einer endlichen Anzahl an Nullstellen Bei periodischen Funktionen sind in der Regel alle Lösungen gefragt, nicht nur eine einzige.
Kurvendisk ussion Bezeichnung Ganszrationale Funktion Gebrochenrationale Funktion 0 0 1 1... ) ( x a x a x a x f n n n n + + + = − − 0 0 1 1 0 0 1 1...... ) ( x b x b x b x a x a x a x f m m m m n n n n + + + + + + = − − − − 1. Nullstellen 0) ( x f) () () ( x N x Z x f = 0) ( 0) ( x N x Z 2. Schnittpunkte mit der y- Achse 0 x 0 x 3. Pole¹ - 0) ( 0) ( x N x Z 4. Lücken¹ - 0) ( 0) ( x N x Z 5. Kurvendiskussion merkblatt pdf.fr. Extremwerte 0) ( ' ' 0) ( ' x f x f Maxi mum: 0) ( ' ' x f Minim um: 0) ( ' ' x f keine Ex tremwerte: 0) ( ' ' x f 0) ( ' ' 0) ( ' x f x f Maxi mum: 0) ( ' ' x f Minim um: 0) ( ' ' x f keine Ex tremwerte: 0) ( ' ' x f 6. Wendepunkte 0) ( ' ' ' 0) ( ' ' x f x f 0) ( ' ' ' 0) ( ' ' x f x f Wendetagente 1 1 1))( ( ' w w w y x x x f y + − = 1 1 1))( ( ' w w w y x x x f y + − = Sattelpunkt 0) ( ' ' ' 0) ( ' ' 0) ( ' x f x f x f 0) ( ' ' ' 0) ( ' ' 0) ( ' x f x f x f 7. Asymptote n n A x a x f =) () () () ( x N x Z x f A = 8. Definitions- bereich} { | Polstelle R D 9. Verhalten im Unendlichen) ( lim) ( li m x f x f x x −∞ → ∞ → ∧) ( lim) ( li m x f x f x x −∞ → ∞ → ∧ 10.
Kurvendiskussion / Funktionsanalyse Beispiel c. Für alle t∈? + sei die Funktion ft(x) gegeben mit: Untersuchen Sie die Kurvenschar ft(x) auf Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und Symmetrie. Fertigen Sie eine Zeichnung von f 0, 5 (x). [t∈? + bedeutet, dass der Parameter "t" alle positiven Zahlen annehmen kann. Die "0" ist in? + nicht enthalten! ] Info: Am Anfang der Aufgabenstellung steht: t>0. Wäre das nicht angegeben, müsste man an dieser Stelle eine Fallunterscheidung machen, denn wenn t>0, dann gibt es bei "und" keine Probleme. Wäre jedoch t<0, dann wäre "und" gar nicht definiert. Funktionsanalyse, Funktionsuntersuchung, Kurvendiskussion, Nullstellen, Extrema | Mathe-Seite.de. [Wurzel aus was Negativem gibt's nicht]. Damit gäbe es für t<0 gar keine Nullstelle. Zeichnung Natürlich kann man die Zeichnung nur für einen bestimmten Wert von t durchführen. Diese Zeichnung gilt für t=0, 5. Kurvendiskussion / Funktionsanalyse Beispiel d. Für alle t∈? + sei die Funktionsschar ft(x) gegeben mit: Lösung:
Wir suchen uns daher zwei x-Werte aus, von denen einer größer, der andere kleiner als 2 ist. z. B. wählen wir x1=1 und x2=3. Nun setzen wir diese beiden x-Werte in f'(x) ein: Wir erhalten beide Male ein positives Vorzeichen. [der Wert "0, 75" spielt keine Rolle] ⇒ Bei x=2 liegt also kein Extrempunkt vor. Wendepunkte Bei der Berechnung der Extrempunkte erhielten wir f'(2)=0 (siehe Berechnung der Extrempunkte weiter oben). Dies bedeutet, dass bei x=2 die Steigung Null ist. Im Punkt W(2|2) ist also ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Kurvendiskussion | Mathebibel. Es handelt sich somit um einen Sattelpunkt! ⇒ SP( 2 | 2) Kurvendiskussion / Funktionsanalyse Beispiel b. Zeigen Sie, dass f(x) bei N1(-2|0) und bei N2(2, 5|0) Nullstellen besitzt. Untersuchen Sie f(x) auf Extrem- und Wendepunkte, Symmetrie und Asymptoten. Fertigen Sie eine Zeichnung. Wenn man die Nullstellen braucht, setzt man normalerweise f(x)=0 und löst nach x auf. Hier jedoch sind die Nullstellen bereits gegeben. Also setzen wir einfach die x-Werte in die Funktion ein und sollten als y-Wert "0" erhalten.
Viele Rechner mit Computeralgebrasystem (CAS) geben hier allerdings nur die erste Lösung an. Daher sind sie hier nicht unbedingt immer hilfreich. Um alle Lösungen zu berücksichtigen, müssen sogenannte Laufvariablen eingeführt werden: 2. Extremwerte Zum Hauptartikel Extremstellen, Extrempunkte Extremwerte sind die Minima und Maxima der Funktion. Maxima und Minima – also Hoch- und Tiefstellen – sind jene Stellen von f ( x) bei denen die Funktion in der Umgebung der Stelle besonders klein oder groß ist. Die Tangente an diesen Stellen hat eine Steigung von 0. Kurvendiskussion | MatheGuru. Wenn beim Testen des hinreichenden Kriteriums x in der zweiten Ableitung 0 ergibt, handelt es sind bei der Stelle möglicherweise um eine Sattelstelle. 3. Minima / Maxima Die Bestimmung von Minima und Maxima ist im Prinzip eine Fortsetzung der Bestimmung der Extremstellen. Die Extremstellen, die wir vorher bestimmt haben, setzten wir nun in die 2. Ableitung ein und schauen, wie sich der Wert in Relation zu 0 verhält. Hochpunkte werden mit einem großen H geschrieben, während bei Tiefpunkten ein großen T verwendet wird.
⇒ Zeichnung der Funktion. [Eventuell mit Wertetabelle] Schematische Darstellung der Funktionsanalyse: ⇒ Ableitungen: im Normalfall drei Stück ⇒ Symmetrie: Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse?!? ⇒ Asymptoten: senkrechte?? oder waagerechte bzw. schiefe? ⇒ Nullstellen: f(x) = 0 ⇒ man erhält x1, x2, … ⇒ N1(x1|0), N2(x2|0),.. ⇒ Extrempunkte: f'(x) = 0 ⇒ x1, x2, … f'(x)=0 setzen Die erhaltenen x-Werte, setzt man zum einen in f''(x) ein. [Falls das Ergebnis positiv ist, gibt's einen Tiefpunkt, falls es negativ ist, hat man einen Hochpunkt. ] Zum anderen setzt man die x-Werte nochmal in f(x) ein, um die y-Werte zu erhalten. f''(x)=0 setzen Die x-Werte, die man erhält, setzt man zum in f'''(x) ein. [Falls nicht Null rauskommt, ist es sicher ein Wendepunkt. Kurvendiskussion merkblatt pdf format. ] Die x-Werte setzt man nochmal ein. Und zwar in f(x), um die y-Werte zu erhalten. Falls bei der Überpru? fung der Extrem- oder Wendepunkte Null rauskommt, weiß man nicht ob hier Extrem- ein Wendepunkte vorliegen. Oft ist es ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.
Wird mehr als ein Hoch- oder Tiefpunkt gefunden, wird eine Zahl in den Index geschrieben, um einzelne Punkte voneinender unterscheiden zu können: H 1, H 2, H 3,... 4. Wendestellen, Wendepunkte Zum Hauptartikel Wendestellen, Wendepunkte Wendestellen geben Trendwenden an. In einem Wendepunkt beginnt eine Funktion zu steigen, die vorher monoton fallend war und eine Funktion die vorher monoton steigend war, zu fallen. 5. Sattelstellen, Sattelpunkte Im Gegensatz zu einem Wendepunkt, ändert sich bei einem Sattelpunkt das Vorzeichen der ersten Ableitung nicht. Das hat zur Folge, dass eine Funktion, welche die ganze Zeit gestiegen ist, auch nach dem Sattelpunkt weiter steigt. Dasselbe gilt natürlich auch für Funktionen die fallen. 5. Verhalten im Unendlichen Zum Hauptartikel Grenzwert Beim Verhalten im Unendlichen wird untersucht, wie sich die Funktion verhält, wenn x sehr groß oder sehr klein wird. Dazu wird der Grenzwert benutzt. Die Funktion kann sich dabei einem bestimmten Wert annähern – man sagt auch, die Funktion konvergiert zu diesem Wert hin – bzw. entweder immer größer oder kleiner werden.
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