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}{\leq}~ c_1 \, n + \frac{c_2}{n} \] Gleichung 9 ist erfüllt, falls folgende Gleichung erfüllt ist (denn \(\frac{c_2}{n} \geq 0 \)): 10 \[ \log_2(n) ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, n \] 11 \[ n ~\stackrel{? }{\leq}~ 2^{c_1 \, n} \] Da 11 erfüllt ist, ist \( n\, \log_2(n) \in \mathcal{O}(n^2) \) wahr. Lösung für (e) Mit \( g(n) = n^4 \) und \(f(n) = n^3\, \log_2(n) \) folgt nach der Definition des O-Symbols: 12 \[ n^4 ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, n^3\, \log_2(n) + c_2 \] Teile 12 auf beiden Seiten durch \(n^4\): 13 \[ 1 ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, \frac{1}{n}\, \log_2(n) + \frac{c_2}{n^4} \] Für große \(n\) geht \(c_2/n^4\) gegen Null und kann bei großen \(n\) vernachlässigt werden: 14 \[ 1 ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, \frac{1}{n}\, \log_2(n) \] Rechne auf beiden Seiten \(2^x\): 15 \[ 2 ~\stackrel{? Terme übungen mit lösungen youtube. }{\leq}~ 2^{\frac{c_1 \, \log_2(n)}{n}} \] 16 \[ 2 ~\stackrel{? }{\leq}~ \left(2^{\log_2(n)}\right)^{\frac{c_1}{n}} \] 17 \[ 2 ~\not\leq~ n^{\frac{c_1}{n}} \] Ungleichung 17 ist für große \(n\) nicht erfüllt, denn der Exponent auf der rechten Seite geht gegen 0.
Level 3 (bis zum Physik B. Sc. ) Level 3 setzt Kenntnisse der Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung voraus. Geeignet für Studenten und zum Teil Abiturienten. Hier muss das asymptotische Wachstumsverhalten verschiedener Funktionen untersucht werden, die beispielsweise die Laufzeit eines Algorithmus beschreiben könnten. Welche der folgenden Aussagen ist wahr und welche falsch? Terme übungen mit lösungen in english. Verschiedenes Wachstumsverhalten \( 42n + 8 ~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n) \) \( 3^n ~\stackrel{? }{\in}~ 2^{\mathcal{O}(n)} \) \( 5n^3 ~\stackrel{? }{\in}~ 2^{\mathcal{O}(n)} \) \( n \, \log_2 (n) ~~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n^2) \) \( n^4 ~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n^3 \, \log_2 (n)) \) \( 6\, n^4 + 7n^3 + 18 ~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n^5) \) \(n \, \log_2(n) + n^2 \, \sqrt{n} ~\stackrel{? }{\in}~ \mathcal{O}(n^4) \) Lösungstipps Benutze die Definition des O-Symbols: \[ \mathcal{O}(f) ~=~ \{~g ~|~ \exists \, c_1, c_2 > 0, \forall n \in \mathbb{N}: g(n) \leq c_1 \, f(n) + c_2~\} \] und betrachte die jeweiligen Ungleichungen: \[ g(n) ~\leq~ c_1 \, f(n) + c_2 \] Lösungen Lösung für (a) Die Aussage \( 42n + 8 ~\in~ \mathcal{O}(n) \) ist wahr, denn mit \( g(n) = 42n \) und \(f(n) = n \) folgt nach der Definition des O-Symbols (siehe Hinweis): 1 \[ 42n + 8 ~\leq~ c_1 \, n + c_2 \] mit \(c_1 ~\geq~ 42, c_2 ~\geq~ 8\).
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Damit ist der Grenzwert auf der rechten Seite \(n^0 = 1 \). Es gibt also keine Konstante \(c_1\), sodass ab einem festen \(n\) die Ungleichung immer erfüllt wäre. Folglich ist \( n^4 \not\in \mathcal{O}(n^3\, \log_2(n)) \) wahr. Lösung für (f) Mit \( g(n) = 6\, n^4 + 7n^3 + 18 \) und \(f(n) = n^5 \) folgt nach der Definition des \(\mathcal{O}\)-Symbols: 18 \[ 6\, n^4 + 7n^3 + 18 ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, n^5 + c_2 \] Teile auf beiden Seiten durch \(n^4\) 19 \[ 6 + \frac{7}{n} + \frac{18}{n^4} ~\leq~ c_1 \, n + \frac{c_2}{n^4} \] Jeder Summand, in dem \(n\) im Nenner steht, geht im Gegensatz zum linearen Term \( c_1 \, n \) gegen Null. Folglich existieren Konstanten \(c_1, c_2\) für die die Ungleichung 19 erfüllt ist. Damit ist \(6\, n^4 + 7n^3 + 18 \in \mathcal{O}(n^5)\). Lösung für (g) Mit \( g(n) = n \, \log_2(n) + n^2 \, \sqrt{n} \) und \(f(n) = n^4 \) folgt nach der Definition des \(\mathcal{O}\)-Symbols: 20 \[ n \, \log_2(n) + n^2 \, \sqrt{n} ~\stackrel{? }{\leq}~ c_1 \, n^4 + c_2 \] Teile auf beiden Seiten durch \(n\): 21 \[ \log_2(n) + n \, \sqrt{n} ~\stackrel{?
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