Bis jetzt haben wir nur Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse berechnet. Ereignisse können aber auch verknüpft werden. Beispiel: In einem Abiturjahrgang am Berufskolleg sind 100 Schüler/innen, davon haben 87 Spanisch (S) und 75 Französisch (F) gelernt, 70 beherrschen beide Fremdsprachen. a) Wie viele Schüler/innen lernten Französisch oder Spanisch? (oder bedeutet hier Französisch, Spanisch oder beides) b) Ein Schüler/in wird zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er/sie Spanisch oder Französisch gelernt hat. (oder bedeutet hier Französisch, Spanisch oder beides) Lösung: a) Man kann nun nicht einfach die Zahlen für Spanisch und Französisch addieren, denn dann käme man auf eine Schülerzahl von 87 + 75 = 162. Verknüpfung von Ereignissen jetzt schrittweise verstehen. Das ist deshalb falsch, weil man die Schüler/innen die Spanisch und Französisch gelernt haben damit doppelt zählt. 87 Schüler/innen mit Spanisch davon 70 mit Spanisch und Französisch, also 17 nur mit Spanisch75 Schüler/innen mit Französisch davon 70 mit Spanisch und Französisch, also 5 nur mit Französisch.
Eine Menge kann, wie im vorhergehenden Abschnitt gezeigt wird, als eine Zusammenfassung verschiedener Ereignisse verstanden werden. Zufallsereignisse lassen sich daher mithilfe der Mengenlehre beschreiben und verknüpfen. Der Mengenbegriff wird anhand des Zufallsexperimentes Würfeln mit einem regelmäßigen Würfel verdeutlicht. Das Würfeln führt zu sechs möglichen Ereignissen. Diese Möglichkeiten bilden den Ereignisraum Ω, der als Menge dargestellt werden kann. (2. Verknüpfung von ereignissen venn diagramm. 7) Für das Experiment werden die Mengen A - D definiert: A Würfeln einer geraden Zahl, A = {2, 4, 6} B Würfeln einer durch 3 teilbaren Zahl, B = {3, 6} C Würfeln einer 1, C = {1} D Würfeln einer 4, D = {4} Die Ereignisse sind in Bild 2. 1 grafisch dargestellt: Bild 2. 1: Darstellung des Zufallsexperimentes Wurf eines regelmäßigen Würfels Mit dem Beispiel Wurf eines regelmäßigen Würfels werden im Folgenden die grundlegenden Mengenoperationen beschrieben. Element der Menge Ist eine Menge D in einer Menge A vollständig enthalten, wird sie als Element der Menge bezeichnet.
Ohne die Subtraktion von P(A ∩ B) hingegen: P(Ω) + P(Ω) = 2. Nutzen der Summenformel: Es kann vorkommen, dass eine der beiden Seiten der Gleichung deutlich einfacher zu rechnen ist als die andere. In diesen Fällen spart man sich durch die Anwendung der Summenformel viel Zeit ein. Ein weiterer Nutzen ist, dass man zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten nicht mehr zwangsweise die Mengen der Ereignisse kennen muss. Sind stattdessen etwa die Werte von P(A), P(B) und P(A ∩ B) bekannt, dann kann P(A ∪ B) aus diesen abgeleitet werden. 5. Unvereinbare Ereignisse Zwei Ereignisse gelten als unvereinbar, wenn ihre Schnittmenge die leere Menge ist: A ∩ B = ∅ → A und B sind unvereinbar Wenn zwei Ereignisse unvereinbar sind, dann können sie nie gleichzeitig eintreten, denn beide Ereignisse haben dann kein einziges gemeinsames Elementarereignis. Verknüpfung von Ereignissen / Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung / Stochastik - YouTube. Beispiel: Definieren wir für den Würfelwurf A gerade ={2, 4, 6} und B ungerade ={1, 3, 5}, dann gilt für A gerade ∩ B ungerade = ∅. A gerade und B ungerade haben keine gemeinsamen Elementarereignisse und können daher nicht gleichzeitig eintreten.
Bei einer Befragung von Passanten in der Fußgängerzone einer Großstadt werden unter anderem folgende Ereignisse berücksichtigt: \(S\): "Die befragte Person ist über 60 Jahre alt. " \(T\): "Die befragte Person beabsichtigt den Kauf eines Tablets. " Beschreiben Sie die folgenden Ereignisse im Sachzusammenhang. a) \((\overline{S} \cap T) \cup (\overline{T} \cap S)\) b) \(\overline{\overline{S} \cap T}\) c) \(\overline{S \cup \overline{T}}\) a) Ereignis \((\overline{S} \cap T) \cup (\overline{T} \cap S)\) \(\overline{S} \cap T = T \backslash S\): "Die befragte Person ist unter 60 Jahre alt und beabsichtigt den Kauf eines Tablets. Verknüpfung von ereignissen stochastik. " \(\overline{T} \cap S = S \backslash T\): "Die befragte Person ist über 60 Jahre alt und beabsichtigt nicht den Kauf eines Tablets. " \((\overline{S} \cap T) \cup (\overline{T} \cap S) = T \backslash S \cup S \backslash T\): "Die befragte Person ist entweder unter 60 Jahre alt und beabsichtigt den Kauf eines Tablets oder sie ist über 60 Jahre alt und beabsichtigt nicht den Kauf eines Tablets. "
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