Synonyme Lemma von Green · Green-Riemannsche Formel · Satz von Gauß-Green · Satz von Stokes · stokesscher Integralsatz Stamm Übereinstimmung Wörter 1828 veröffentlichte Green sein erstes Werk Ein Essay über die Anwendung der mathematischen Analyse auf die Theorien von Elektrizität und Magnetismus (An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism), in dem er die Potentialfunktion und das Konzept der Greenschen Funktion zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen einführt und den Satz von Green beweist. 2010 erhielt sie den Levi-L. -Conant-Preis für ihren Aufsatz The Green -Tao Theorem on arithmetic progressions in the primes: an ergodic point of view über den Satz von Terence Tao und Ben Green über arithmetische Reihen in Primzahlen. WikiMatrix Verfügbare Übersetzungen
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Satz von Stokes Beispiel Halbkugelschale Im ersten Beispiel sei das Vektorfeld sowie die Halbkugelschale für gegeben. Um die Gleichheit der beiden Seiten im klassischen Integralsatz von Stokes zu zeigen, werden ein paar Vorarbeiten erledigt. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass gilt: Außerdem gilt für das Flächenelement in Kugelkoordinaten: Die Randkurve kann des Weiteren wie folgt parametrisiert werden: Somit ergibt sich für die eine Seite: Die andere Seite berechnet sich zu: Somit ist gezeigt, dass die separate Berechnung beider Seiten zum selben Ergebnis führt. Da die Kreisscheibe mit und den selben Rand besitzt wie die eben betrachtete Halbkugelschale, ist auch der Wert des Integrals derselbe. Satz von Stokes Beispiel Zylindermantel im Video zur Stelle im Video springen (02:45) Im zweiten Beispiel soll der Fluss der Rotation des Vektorfeldes von innen nach außen durch den Zylindermantel für berechnet werden. Hierzu wird nach dem klassichen Stokesschen Satz das Kurvenintegral entlang des Randes von über das Vektorfeld bestimmt.
Dann gilt für jede kompakte Menge mit glattem Rand, wobei die induzierte Orientierung trägt und die äußere Ableitung von bezeichnet. Zugrundeliegendes topologisches Prinzip Dem Satz von Stokes liegt das topologische Prinzip zugrunde, dass bei der Pflasterung eines Flächenstücks durch gleichorientierte "Pflastersteine" die inneren Wege in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden, was dazu führt, dass sich ihre Beiträge zum Linienintegral gegenseitig aufheben und nur noch der Beitrag der Randkurve übrig bleibt. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als Spezialfall Für entartet der allgemeine Integralsatz von Stokes zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Sei ein offenes Intervall und eine stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt: Integralsatz von Gauß als Spezialfall Als weiterer Spezialfall folgt aus dem allgemeinen Integralsatz von Stokes der Gaußsche Integralsatz. Um das zu zeigen wird gewählt und es sei, d. h. mit dem stetig differenzierbaren Vektorfeld.
Als Merkregel gilt, dass Du für das Gauß-Volumen am besten eine ähnliche Form wählst, wie die des geladenen Gegenstandes. In diesem Fall also einen Zylinder, da der Draht ein sehr dünner, langer Zylinder ist. Die Länge des Gauß-Zylinders ist egal, da die Deckelflächen - wie Du beim Ausrechnen schnell merken wirst - nichts zum Integral beitragen. Sag also einfach, der Zylinder hat die Länge \( L \). Die Dicke des Zylinders ist allerdings nicht egal! Seine Oberfläche muss durch den Feldpunkt verlaufen - also durch den Ort, an dem du die Feldstärke berechnen möchtest. Du möchtest aber nun das Feld an jedem beliebigen Punkt wissen! Diese Punkte haben alle einen unterschiedlichen Abstand \( r \) von der Achse durch die Mitte des Drahtes. Der Fall ist damit klar: Dein Gauß-Zylinder hat den variablen Radius \( r \)! Beim Volumenintegral steht also eine Variable in der Integrationsgrenze. Um dieses \( r \) formal von dem \( r \) zu unterscheiden, über das integriert wird, macht man üblicherweise einen Strich an die Integrationsvariablen \( r' \).
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Die reale Kugel kann z. eine elektrisch geladene Kugel sein. Damit Du am Ende auch das herausbekommst, was Du berechnen wolltest, ist es entscheidend, dass dieses gedachte Volumen die richtige Form (eine zum Problem passende Symmetrie) hat, und dass Du es am richtigen Ort platzierst. Der Gaußsche Satz ist nutzlos, wenn Du den Fluss durch eine komisch gekrümmte Oberfläche behandeln möchtest und er ist echt stark, wenn Du das Problem eine einfache Symmetrie aufweist. Gauß-Schachtel - für ein Problem mit ebener Symmetrie z. eine unendlich ausgedehnte Kondensatorplatte \(P\). Es gibt grundsätzlich drei Symmetrien, für die der Gauß-Integralsatz perfekt geeignet ist: Sphärische Symmetrie - hier setzt Du eine " Gaußsche Kugel " ein. Diese Art der Symmetrie hast Du immer dann, wenn es sich in irgendeiner Weise um ein kugelförmiges Problem handelt und die Feldstärke allein vom Abstand zum Kugelmittelpunkt abhängt. Felder von punktförmigen Objekten gehören also auch dazu! Du kannst so zum Beispiel das Gravitationsfeld der Erde oder das elektrische Feld eines Elektrons berechnen.
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