Definitionsmenge bestimmen und Gleichung lösen 1. Bestimmen Sie die Definitionsmenge und lösen Sie die Gleichungen. Ausführliche Lösungen a) b) c) d) e) f) g) h) i) 2. Ausführliche Lösungen a) Diese Gleichung hat unendlich viele Losungen, denn die Gleichheitsbedingung ist für jedes x der Definitionsmenge erfüllt. b) Tritt bei der Äquivalenzumformung ein Widerspruch auf, so hat die Gleichung keine Lösung. c) d) e) f) Achtung: In der 3. Zeile muss es zweimal 18u hoch 2 heißen! In der weiteren Lösung ist es wieder richtig. 3. Überprüfen Sie folgende Behauptung? Ausführliche Lösung Hier geht es nicht darum die Gleichung zu lösen, sondern zu überprüfen ob die Behauptung richtig ist. Die Gleichung selber kann bekanntlich eine, mehrere, keine oder unendlich viele Lösungen besitzen. Bei Betrachtung der Definitionsmenge fällt auf, dass diese falsch ist. 4. Ausführliche Lösungen: a) Die Besonderheit solcher Gleichungen besteht darin, dass sie eine Formvariable enthält. In diesem Fall u. Man kann sich u als Platzhalter für irgend eine Zahl vorstellen, die in die Gleichung eingesetzt werden kann.
Daher ist es nicht möglich, eine allgemein gültige Lösungsmethodik anzugeben. Nur für gewöhnliche, integrable Differentialgleichungen existiert ein allgemeines Lösungsverfahren. Folgende Lösungsverfahren sind möglich: Für gewöhnliche Differentialgleichungen benutzt man die Umkehrung des Differenzierens, in dem man die Stammfunktion aufsucht und so die Differentialgleichung integriert. Die Lösungsfunktion ist dann einfach die Stammfunktion der Differentialgleichung. Beispiel: f´(x) = 4, dann ist die Stammfunktion F(x) = 4x + C und somit die Lösung der Differentialgleichung. Partielle Differentialgleichungen werden in erster Linie durch Trennung der Variablen und spätere Integration gelöst. Anfangswertproblem (AWP) Wichtig ist, dass aus der Lösung der Differentialgleichung immer gilt, dass die Lösungsmenge einer Differentialgleichung im allgemeinen eine Funktionenschar ist (durch die Konstante C). Ist nun eine genau definierte Funktion als Lösung gesucht, so reicht die Vorgabe der Differentialgleichung nicht aus, sondern dazu benötigt man noch einen Anfangs- oder Randwert.
Lösung: Aufgabe 2. 4 \begin{alignat*}{5} \bar{x}_S &= 0, &\quad \bar{y}_S &= \frac{4 r}{3 \pi} Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine lineare Streckenlast \(q(x)\) belastet. Die Resultierende geht durch den Schwerpunkt der durch \(q(x)\) beschriebenen Fläche. Geg. : \begin{alignat*}{3} l &= 5\, \mathrm{m}, &\quad q(x) & = \frac{q_0}{l}\, x, & \quad q_0 &= 100\, \mathrm{\frac{N}{m}} Ges. : Bestimmen Sie den Betrag und die Lage der zur Streckenlast äquivalenten, resultierenden Kraft. Überlegen Sie zunächst, welcher Zusammenhang zwischen der Lage der Resultierenden und dem Schwerpunkt der Fläche besteht. Die Formel zur Berechnung der resultierenden Kraft und der Lage der Resultierenden finden Sie in der Formelsammlung. Lösung: Aufgabe 2. 5 \begin{alignat*}{5} \bar{x}_R &= \frac{2}{3}l, &\quad F_R &= 250\, \mathrm{N} Ein Träger auf zwei Stützen ist durch eine quadratische Streckenlast l & = 2\, \mathrm{m}, &\quad q(x) &= \frac{q_0}{l^2}\, x^2, \quad & q_0 &= 240\, \mathrm{\frac{N}{m}}\\ äquivalenten, resultierenden Kraft.
6d Bestimmen Sie von folgender Funktion die Nullstellen und skizzieren Sie den Graphen so gut wie möglich. Ausführliche Lösung Aus dem Graphen ist nicht zu erkennen, dass es im Intervall ( 1; 2) zwei Nullstellen gibt. Das zeigt nur die genaue Rechnung. Hier finden Sie die Aufgaben. Und hier die Theorie: Achsenschnittpunkte ganzrationaler Funktionen. Hier finden Sie eine Übersicht über alle Beiträge zum Thema weitere ganzrationale Funktionen, darin auch Links zu weiteren Aufgaben.
P(2|3) und Q(6|75) verläuft. Beim Eindringen von Licht in ein durchscheinendes Medium (z. B. Milchglas) nimmt die Lichtintensität je cm um 12% ab. Gib die zugehörige Funktionsgleichung an und bestimme die Lichtintensität in 10 cm Tiefe. Gib den Abnahmefaktor für eine Eindringtiefe von 4 cm an. zurück zur Aufgabenbersicht
(Denn dann gilt y = 0, also die behauptete Gleichheit). Aber multiplizieren wir für 1 ≤ i ≤ r die i-te Zeile von A mit y, so erhalten wir gerade den Koeffizienten y i. Dies zeigt: y i = 0. Also y = 0. Weiterführende Bemerkungen: Die Spalten f(1),..., f(n-r) sind "linear unabhängig", sie bilden also eine "Basis" von Lös([I r |A'], 0). Dies wird später gezeigt. Wir werden später das Lösen von linearen Gleichungssystemen in der Sprache der "linearen Abbildungen" formulieren: gesucht ist das Urbild eines Vektors unter einer linearen Abbildung g: K n → K m. Und wir werden all dies auch in der Sprache der "affinen Geometrie" umformulieren. Und wir werden zumindest die Lösungsformel für homogene lineare Gleichungssysteme als Aussagen einer "Dualitätstheorie" interpretieren. Beispiel Hier als Beispiel das Gleichungssystem AX = b mit (dabei haben wir als Koeffizienten neben rationalen Zahlen auch einige Variable, nämlich a, b, c, d, x, y, z, ν, verwendet). Maple liefert die Lösungen in folgender Form: Im Rahmen der Vorlesung schreiben wir derartige Elemente in der Form: Links sieht man eine spezielle Lösung des gegebenen (inhomogenen) Gleichungssystems.
Möglichkeit: Unendlich viele Lösungen Die Geraden (I) und (II) haben gleiche Steigung und gleiche Achsenabschnitte. Sie fallen zusammen. Das zugehörige Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen und besteht aus allen Zahlenpaaren, die die Geradengleichung erfüllen. Lineares Gleichungssystem: $$|[y=-0, 5x+4], [y=-0, 5x+4]|$$ Lösung: L = {(x|y) | y = -0, 5x + 4} gelesen: alle Zahlenpaare (x|y) mit der Eigenschaft y = -0, 5x + 4 Die Geraden (I) und (II) haben gleiche Steigung und gleiche Achsenabschnitte. Ohne Zeichnen die Anzahl der Lösungen bestimmen Du kannst schon an den Steigungen und Achsenabschnitten erkennen, ob sich die Geraden eines linearen Gleichungssystems schneiden, ob sie parallel verlaufen oder ob sie identisch sind. Lösung: Die Lösung erfolgt in zwei Schritten: Forme die Gleichungen in die Normalform y = m $$*$$x + b um. Vergleiche m und b: Werte für m unterschiedlich: Geraden schneiden sich - es gibt genau eine Lösung Beispiel: $$|[y=-x+5], [y=2x+2]|$$ Werte für m gleich und für b unterschiedlich: Geraden verlaufen parallel - Lösungsmenge ist leer Beispiel: $$|[y=0, 5x+1], [y=0, 5x+2]|$$ Werte für m und b gleich: Geraden identisch - es gibt unendliche viele Lösungen Beispiel: $$|[y=-0, 5x+4], [y=-0, 5x+4]|$$ Funktionsgleichung in Normalform: $$y =$$ $$m$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ b $$m$$ als Steigung $$b$$ als y-Achsenabschnitt oder kurz als Achsenabschnitt.
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